Многомерные расширения ТФКП

[Scholium]

Руст писал(а):

Даже вектора с нулевой полунормой (я имел в виду именно это) не образуют подпространство (по крайней мере, когда имеем дело с поличислами). Я уже указал, что факторпространство в этом случае (в случае поличисел) всегда получится пространство с одной точкой. Полноценная норма для одной точки нулевая.

Речь то шла не столько о поличислах, сколько о полунорме, как таковой. Просто термин употребляется не совсем по назначению. А Вы же просто утверждаете, что на поличислах полунорма равна норме. Это может быть, спорить не буду, но в общем случае это не так.

Кстати, Вы еще говорили о детерминанте матрицы, как о ее норме. В стандартной литературе о нормах матрицы, такая возможность не упоминается вовсе. Не могли бы Вы пояснить, что Вы имели в виду?

P.S. Да, в соседней ветке: Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел, идет аналогичное обсуждение.

[Руст]

Scholium в сообщении #317859 писал(а):

Руст писал(а):

Даже вектора с нулевой полунормой (я имел в виду именно это) не образуют подпространство (по крайней мере, когда имеем дело с поличислами). Я уже указал, что факторпространство в этом случае (в случае поличисел) всегда получится пространство с одной точкой. Полноценная норма для одной точки нулевая.

Речь то шла не столько о поличислах, сколько о полунорме, как таковой. Просто термин употребляется не совсем по назначению. А Вы же просто утверждаете, что на поличислах полунорма равна норме. Это может быть, спорить не буду, но в общем случае это не так.

Кстати, Вы еще говорили о детерминанте матрицы, как о ее норме. В стандартной литературе о нормах матрицы, такая возможность не упоминается вовсе. Не могли бы Вы пояснить, что Вы имели в виду?

P.S. Да, в соседней ветке: Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел, идет аналогичное обсуждение.

В поличислах роль полунормы играет абсолютная величина алгебраической нормы. Алгебраическая норма определяется для алгебраических расширений полей $F$ до $L$, для каждого элемента $x\in L$ значение $|x|\in F$ и удовлетворяет свойству $|xy|=|x||y|$. Точнее все это определяется и для расширении колец и для прямых сумм получается произведение норм.
Соответственно, если одна компонента равна нулю алгебраическая норма или полунорма равна 0. Любой вектор представляется в виде суммы двух векторов у которых хотя бы одна компонента равна нулю, сумма двух векторов с нулевой алгебраической нормой вообще говоря имеет не нулевую полунорму. Отсюда получаются вышесказанные мною утверждения.

Да, я совсем не заглядываю в не математические разделы, в частности в раздел физики. Если идет дискуссия о понятиях, не имеющих четких определений, всегда можно говорить, что я имел в виду нечто другое. Хотя я сам больше физик, чем математик (научных трудов по механике в несколько раз больше, чем научных трудов в чистой математике), по своему опыту знаю, что физики не знают многих необходимых математических понятий и спор становится совсем не продуктивной.

Вообще то я говорил Д,Г., что готовь написать книгу по финслеровой геометрии (страниц на 500-700) с необходимыми математическими разделами для физиков при наличии финансирования. Думаю, лучше потратить год, другой и четко понять что можно выудит из такой математики для физики. Так физики тратят годы на переоткрытие элементарных математических вещей, а до понимания более сложных могут потратить всю жизнь.

[Scholium]

Руст писал(а):

В поличислах роль полунормы играет абсолютная величина алгебраической нормы. Алгебраическая норма определяется для алгебраических расширений полей $F$ до $L$, для каждого элемента $x\in L$ значение $|x|\in F$ и удовлетворяет свойству $|xy|=|x||y|$. Точнее все это определяется и для расширении колец и для прямых сумм получается произведение норм.

Стоп! По первой аксиоме нормы, она должна быть неотрицательна. Соответственно и определение полунормы не классическое. Стандартное определение полунормы ослабляет первую аксиому нормы, а именно:

$||X|| \geqslant 0$ и $||X|| = 0 \Longleftrightarrow X = 0$ (для нормы)

и

$||X|| \geqslant 0$ (для полунормы).

А Ваше утверждение для модуля произведения имеет отношения к четвертой аксиоме (необязательной) для матричной нормы (см., например, пункт «Матричные нормы». П. Ланкастер. «Теория матриц»).

Кстати, а как определяется сама норма?

Руст писал(а):

Соответственно, если одна компонента равна нулю алгебраическая норма или полунорма равна 0. Любой вектор представляется в виде суммы двух векторов у которых хотя бы одна компонента равна нулю, сумма двух векторов с нулевой алгебраической нормой вообще говоря имеет не нулевую полунорму. Отсюда получаются вышесказанные мною утверждения.

Поскольку, то о чем Вы говорите, не соответствует стандартному определению нормы и полунормы принятым в функциональном анализе, то я плохо понимаю, о чем Вы говорите. Если у Вас норма это произведение компонент вектора, да еще не по модулю, то для меня это вообще экзотика. И толку с того, что выполняется (усиленная) четвертая аксиома, но не выполняется третья (неравенство треугольника). Первая и вторая аксиомы будут выполняться, если в норме сразу брать модуль.

Руст писал(а):

Да, я совсем не заглядываю в не математические разделы, в частности в раздел физики. Если идет дискуссия о понятиях, не имеющих четких определений, всегда можно говорить, что я имел в виду нечто другое. Хотя я сам больше физик, чем математик (научных трудов по механике в несколько раз больше, чем научных трудов в чистой математике), по своему опыту знаю, что физики не знают многих необходимых математических понятий и спор становится совсем не продуктивной.

А Л. Д. Ландау для Вас авторитет?

Просто это тема создана Time’ом и говорится практически тоже, что и здесь (не в смысле повторов). А на последних страницах, нас там осталось только двое :) . Впрочем, я не навязываю эту ветку.

Руст писал(а):

Вообще то я говорил Д,Г., что готовь написать книгу по финслеровой геометрии (страниц на 500-700) с необходимыми математическими разделами для физиков при наличии финансирования. Думаю, лучше потратить год, другой и четко понять что можно выудит из такой математики для физики. Так физики тратят годы на переоткрытие элементарных математических вещей, а до понимания более сложных могут потратить всю жизнь.

Ну да, финансирование вещь хорошая, однако без финансирования можно позволить себе заниматься тем, чем сам хочешь, а не спонсор.

А я вот почитываю иногда теорфизику Ландавшица и не перестаю удивляться их таланту, если не сказать больше. Хотя по отношению к квантовой механике я придерживаюсь альтернативных позиций.

[Руст]

Цитата:

Стоп! По первой аксиоме нормы, она должна быть неотрицательна. Соответственно и определение полунормы не классическое. Стандартное определение полунормы ослабляет первую аксиому нормы, а именно:

Кстати, а как определяется сама норма?

В теории чисел норма числа x определяется как произведение

$$\prod_{\sigma\in Gal}x^{\sigma}$$

Обозначение $x^{\sigma}$ означает $x^{\sigma(x)}$ и вводится для удобства с ассоциацией степени (степени так же удовлетворяют условию мультипликативности $(xy)^a=x^ay^a$), являющийся основным требованием для норм.
Алгебраическая норма не может быть положительной, там нет этого понятия, определения даются над любым полем. Если извлекать корень степени $|Gal|$ то мы выходим из основного поля (не только из за появления мнимостей, это может принадлежать основному полю, а в первую очередь из-за иррациональностей). Поличисла (коммутативные) представляют собой архимедову часть кольца аделей алгебраических чисел. Соответствующие определение в этом случае приводят к норме (алгебраической) как произведению собственных значений матрицы, представляющей умножение, т.е. детерминанту. Для гиперболических чисел $H_n$, являющихся прямой суммой n действительных чисел так же можно определить группу Галуа (это только часть настоящей группы Галуа, т.е. группы всех автоморфизмов кольца над $R$) поличисел, как порожденную автоморфизмом $\sigma$ с условием $\sigma(x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n)=x_2e_1+x_3e_2+...+x_1e_n$. Когда хотим выполнения свойств положительности и $|\lamda x|=|\lamda||x|, \lamda\in R$, берём абсолютную величину от алгебраической нормы и извлекаем корень степени $|Gal|$.

Цитата:

Поскольку, то о чем Вы говорите, не соответствует стандартному определению нормы и полунормы принятым в функциональном анализе, то я плохо понимаю, о чем Вы говорите. Если у Вас норма это произведение компонент вектора, да еще не по модулю, то для меня это вообще экзотика. И толку с того, что выполняется (усиленная) четвертая аксиома, но не выполняется третья (неравенство треугольника). Первая и вторая аксиомы будут выполняться, если в норме сразу брать модуль.

Я уже объяснил, почему в алгебраических нормах нет положительности и нет линейности. Последнее а так же выпуклость (выражаемая неравенством треугольника) не важны для определения топологии. Свойство линейности важна только для метрики, а топология получается той же, если и не извлекать корни.

Цитата:

А Л. Д. Ландау для Вас авторитет?

Как математик он никто. Смотрите "задачу для академиков" в олимпиадном разделе.

Цитата:

Просто это тема создана Time’ом и говорится практически тоже, что и здесь (не в смысле повторов). А на последних страницах, нас там осталось только двое :) . Впрочем, я не навязываю эту ветку.

Возможно загляну.

Цитата:

А я вот почитываю иногда теорфизику Ландавшица и не перестаю удивляться их таланту, если не сказать больше. Хотя по отношению к квантовой механике я придерживаюсь альтернативных позиций.

Общие финслеровы пространства для меня представляются как модель соединяющую теорию гравитации и квантовую механику.

[Scholium]

Руст писал(а):

В теории чисел норма числа x определяется как произведение $\prod_{\sigma\in Gal}x^{\sigma}$
Обозначение $x^{\sigma}$ означает $x^{\sigma(x)}$ и вводится для удобства с ассоциацией степени (степени так же удовлетворяют условию мультипликативности $(xy)^a=x^ay^a$), являющийся основным требованием для норм.
Алгебраическая норма не может быть положительной, там нет этого понятия, определения даются над любым полем. Если извлекать корень степени $\,|Gal|$ то мы выходим из основного поля (не только из за появления мнимостей, это может принадлежать основному полю, а в первую очередь из-за иррациональностей). Поличисла (коммутативные) представляют собой архимедову часть кольца аделей алгебраических чисел. Соответствующие определение в этом случае приводят к норме (алгебраической) как произведению собственных значений матрицы, представляющей умножение, т.е. детерминанту. Для гиперболических чисел $H_n$, являющихся прямой суммой n действительных чисел так же можно определить группу Галуа (это только часть настоящей группы Галуа, т.е. группы всех автоморфизмов кольца над $R$) поличисел, как порожденную автоморфизмом $\sigma$ с условием $\sigma(x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n)=x_2e_1+x_3e_2+...+x_1e_n$. Когда хотим выполнения свойств положительности и $|\lambda x|=|\lambda||x|, \lambda\in R$, берём абсолютную величину от алгебраической нормы и извлекаем корень степени $\,|Gal|$.

Я посмотрел учебник по теории чисел, действительно у Вас много общего с алгебраической нормой, определяемой для различных объектов этой теории. Для меня это вообще-то говоря, кажется немного странным, так как я привык иметь дело с метрической нормой. Поличисла Вы рассматриваете как алгебраические числа, тогда Ваш основной объект интересов должна быть теория чисел на поличислах. Например, задача о разложении трехчлена Ферма $z^n-x^n-y^n$ на линейные множители, которую можно обобщить на задачу о разложении $n$-форм.

Мои соображения примерно такие. Пусть существует разложение $n$-формы на линейные множители:

$a_1x_1^n+a_2x_2^n+\ldots +a_nx_n^n=(b_{11}x_1+b_{12}x_2+\ldots +b_{1n}x_n)(b_{21}x_1+b_{22}x_2+\ldots +b_{2n}x_n)\ldots (b_{n1}x_1+b_{n2}x_2+\ldots +b_{nn}x_n),$

где $x_i\in\mathbb{N}$, $a_i\in\mathbb{Z}$ – соответственно, натуральным и целым числам, для всех $i\in \overline{1..n}$, а $b_{ik}\in H_r$ – поличисловому пространству для некоторого $r\in\mathbb{N}$ и для всех $j,k\in \overline{1..n}$.

Раскрывая скобки, получим

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_ix_i^n=\sum\limits_{\begin{matrix}1\le j_l\le n \\ 1\le k_l\le n \\ 1\le l\le n\end{matrix}}b_{j_1k_1}b_{j_2k_2}\dots b_{j_nk_n}x_{k_1} x_{k_2}\dots x_{k_n}$

Хотелось бы, чтобы выполнялись соотношения:

$b_{j_1k_1} b_{j_2k_2} \dots b_{j_nk_n} = \left \{ \begin{array}{ll} a_i, \forall k_1 = k_2 = \dots = k_n = i; \\ 0, \text{иначе. } \end{array} \right . \text{ (*)}$

Задача состоит в том, чтобы подобрать такое натуральное $r$, для пространства $H_r$, чтобы выполнялось условие (*). Возможно, нужно будет задействовать делители нуля из выбранного пространства поличисел. Данная $n$-форма обобщает трехчлен Ферма, поэтому если будет существовать разложение на линейные множители для $n$-формы, то оно должно существовать и для трехчлена Ферма, хотя не исключено, что порядок числа $r$ придется повысить. Исследовать линейные множители трехчлена Ферма уже значительно проще, чем его самого, несмотря даже на присутствие делителей нуля. Так что эту идею можно пытаться испробовать при доказательстве теоремы Ферма :) .

Т.е. я хочу сказать, что Ваша концепция рассматривать поличисла с точки зрения теории чисел сразу выводит на задачи, типа линейного разложения $n$-форм.

Руст писал(а):

Я уже объяснил, почему в алгебраических нормах нет положительности и нет линейности. Последнее а так же выпуклость (выражаемая неравенством треугольника) не важны для определения топологии. Свойство линейности важна только для метрики, а топология получается той же, если и не извлекать корни.

Мне совершенно непонятно, почему мы должны игнорировать метрический анализ на поличислах. По-моему Time хочет именно этого.

Руст писал(а):

Scholium писал(а):

А Л. Д. Ландау для Вас авторитет?

Как математик он никто. Смотрите "задачу для академиков" в олимпиадном разделе.

Посмотрел, только это мне ни о чем не говорит. Я насмотрелся в МГУ на победителей международных математических и всесоюзных олимпиад по математике. Однако попросите их построить математическую модель реальных процессов (физических, технических, производственных, социальных, каких угодно) и исследовать ее, то наткнетесь на глубокое непонимание. Мол, не «барское» это дело :) . Им интересны только те задачи, которые имеют «олимпиадное» решение, а задачи, которые требуют кропотливого анализа и исследования, переформулировок и снова тягомотного анализа, это не для них. Но на практике требуются как раз больше умения в математическом моделировании (по которому раньше невозможно было даже защититься), чем в раскалывании искусственных математических «орешков».

А то, что Ландау и Co. написали первоклассный десятитомник (!) по теорфизике, то этот подвиг для олимпиадчиков практически недостижим. Разве существует курс такого уровня, лучше, чем у них? Не отдельные монографии, а десятитомный фундаментальный учебник в целом.

Руст писал(а):

Общие финслеровы пространства для меня представляются как модель соединяющую теорию гравитации и квантовую механику.

Создана ведь уже квантовая теория гравитации и безо всяких финслеровых пространств :) .

[Руст]

Цитата:

Я посмотрел учебник по теории чисел, действительно у Вас много общего с алгебраической нормой, определяемой для различных объектов этой теории. Для меня это вообще-то говоря, кажется немного странным, так как я привык иметь дело с метрической нормой. Поличисла Вы рассматриваете как алгебраические числа, тогда Ваш основной объект интересов должна быть теория чисел на поличислах.

Теория чисел для меня царица наук, мое хобби.

Цитата:

Например, задача о разложении трехчлена Ферма $z^n-x^n-y^n$ на линейные множители, которую можно обобщить на задачу о разложении $n$-форм.

Мои соображения примерно такие. Пусть существует разложение $n$-формы на линейные множители:

$a_1x_1^n+a_2x_2^n+\ldots +a_nx_n^n=(b_{11}x_1+b_{12}x_2+\ldots +b_{1n}x_n)(b_{21}x_1+b_{22}x_2+\ldots +b_{2n}x_n)\ldots (b_{n1}x_1+b_{n2}x_2+\ldots +b_{nn}x_n),$

где $x_i\in\mathbb{N}$, $a_i\in\mathbb{Z}$ – соответственно, натуральным и целым числам, для всех $i\in \overline{1..n}$, а $b_{ik}\in H_r$ – поличисловому пространству для некоторого $r\in\mathbb{N}$ и для всех $j,k\in \overline{1..n}$.

Раскрывая скобки, получим

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_ix_i^n=\sum\limits_{\begin{matrix}1\le j_l\le n \\ 1\le k_l\le n \\ 1\le l\le n\end{matrix}}b_{j_1k_1}b_{j_2k_2}\dots b_{j_nk_n}x_{k_1} x_{k_2}\dots x_{k_n}$

Трехчленные и выше не разложимы в целых алгебраических числах. Смотрите книгу Боревич, Шафаревич Теория чисел. Тривиальная разложимость в поличислах ничего не дает.

Цитата:

Исследовать линейные множители трехчлена Ферма уже значительно проще, чем его самого, несмотря даже на присутствие делителей нуля. Так что эту идею можно пытаться испробовать при доказательстве теоремы Ферма :) .

Т.е. я хочу сказать, что Ваша концепция рассматривать поличисла с точки зрения теории чисел сразу выводит на задачи, типа линейного разложения $n$-форм.

Я их никогда так не рассматривал. мало того, где то здесь писал, что разложения в кольцах с делителями нуля бесполезны для теории чисел.

Цитата:

Мне совершенно непонятно, почему мы должны игнорировать метрический анализ на поличислах. По-моему Time хочет именно этого.

Никогда не призывал игнорировать метрикой, мало того в них суть физики. Только в случае исследования фракталов достаточно обходится топологией (или более общей непрерывной структурой).

Цитата:

Посмотрел, только это мне ни о чем не говорит. Я насмотрелся в МГУ на победителей международных математических и всесоюзных олимпиад по математике. Однако попросите их построить математическую модель реальных процессов (физических, технических, производственных, социальных, каких угодно) и исследовать ее, то наткнетесь на глубокое непонимание. Мол, не «барское» это дело :) .

Скорее вы не поняли их модель. Во всяком случае не все такие. Когда я был студентом, подходили ко мне, когда задачу не могли решить победители ММО.

Цитата:

Им интересны только те задачи, которые имеют «олимпиадное» решение, а задачи, которые требуют кропотливого анализа и исследования, переформулировок и снова тягомотного анализа, это не для них. Но на практике требуются как раз больше умения в математическом моделировании (по которому раньше невозможно было даже защититься), чем в раскалывании искусственных математических «орешков».

Не совсем согласен. Скорее их тяготит не понимание их со стороны других.

Цитата:

А то, что Ландау и Co. написали первоклассный десятитомник (!) по теорфизике, то этот подвиг для олимпиадчиков практически недостижим. Разве существует курс такого уровня, лучше, чем у них? Не отдельные монографии, а десятитомный фундаментальный учебник в целом.

Не спорю, учебник хорош, хотя не во всем даже из тех томов, которые я читал.

Цитата:

Создана ведь уже квантовая теория гравитации и безо всяких финслеровых пространств :) .

Теорий хватает, нет приличных. Смотрите Ю.С. Владимиров Геометродинамика, Р.Пенроуз Путь к реальности.

[Scholium]

Руст писал(а):

Трехчленные и выше не разложимы в целых алгебраических числах. Смотрите книгу Боревич, Шафаревич Теория чисел. Тривиальная разложимость в поличислах ничего не дает.

Посмотрю, только назовите страницы.

Руст писал(а):

Я их никогда так не рассматривал. мало того, где то здесь писал, что разложения в кольцах с делителями нуля бесполезны для теории чисел.

Тогда зачем надо ориентироваться на теорию чисел, а не на функциональный анализ?

Руст писал(а):

Никогда не призывал игнорировать метрикой, мало того в них суть физики. Только в случае исследования фракталов достаточно обходится топологией (или более общей непрерывной структурой).

Ну, фракталы напрямую не связаны с физикой. Пока у них роль «околонаучных зрелищ».

Руст писал(а):

Скорее вы не поняли их модель. Во всяком случае не все такие. Когда я был студентом, подходили ко мне, когда задачу не могли решить победители ММО.

Как раз смысла моделирования с ориентацией на физические или технические приложения они и не понимали вовсе. Я был единственным на всем потоке, кто проходил преддипломную практику в институте Нефти и газа АН СССР, т.е. хоть как-то связанным с практическими, а не чисто теоретическими приложениями. Тема ДР у меня была «Матмоделирование оптимального извлечения нефти из полуотработанных месторождений».

Руст писал(а):

Scholium писал(а):

Им интересны только те задачи, которые имеют «олимпиадное» решение, а задачи, которые требуют кропотливого анализа и исследования, переформулировок и снова тягомотного анализа, это не для них. Но на практике требуются как раз больше умения в математическом моделировании (по которому раньше невозможно было даже защититься), чем в раскалывании искусственных математических «орешков».

Не совсем согласен. Скорее их тяготит не понимание их со стороны других.

Как раз с пониманием наших гениев и вундеркиндов и прочих «пупов Земли» проблем не было. У них было все, и уважение, и почет, и самоудовлетворение от собственной математической «крутизны». Вот только приложения они не любили. Только абстрактную (теоретическую) математику. Это касалось даже нелюбви математиков к своим соседям по факультету – механикам. Мол, неполноценная у них математика :) . Помню слова тогдашнего министра образования: «Заставляют нас вводите еще одну специализацию ВАК: «Математическое моделирование». Будь моя воля, запретил бы».

Руст писал(а):

Теорий хватает, нет приличных. Смотрите Ю.С. Владимиров Геометродинамика, Р.Пенроуз Путь к реальности.

Пенроуза читал. Восхищен. А каков критерий «приличности», отличный от субъективного?

[Scholium]

Интегральная формула Коши для комплексных гиперболических или двойных чисел

Оказывается, интегральная формула Коши для матриц, о которой на этом форуме уже шла речь, может быть с легкостью использована для вычисления аналитических в пространстве $\mathbb{H}_2$ функций.

Действительно, согласно «Теории матриц» Ф.Р. Гантмахера или П. Ланкастера, существует интегральная формула Коши для аналитических функций матриц:

$f(H)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z E - H}~d z$, (*)

где $f(z)$ – произвольная аналитическая функция комплексной переменной, регулярная в области $G \cup \Gamma \subset \mathbb{C}$, ограниченной замкнутым контуром $\Gamma$ и содержащая внутри себя характеристические числа (не обязательно все) матрицы $H$; $E$ – единичная матрица.

Известно, что любому поли- или гиперчислу можно поставить в соответствие некоторую матрицу. В частности, для $h = a + j b \simeq H = a E + b J \in \mathbb{H}_2$, где $a,~b \in \mathbb{R}$ и $j \simeq J = \left ( \begin{matrix} 0, & 1 \\ 1, & 0 \end{matrix} \right )$ - соответственно, гиперболическая и матричная гиперболическая единица.

Вычисляя знаменатель подинтегрального выражения (*), находим, что

$z E - H = \left ( \begin{matrix} z-a, & -b \\ -b, & z-a \end{matrix} \right )$,

и обратная величина этой матрицы будет

$(z E - H)^{-1} = \frac{1}{(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)} \left ( \begin{matrix} z-a, & b \\ b, & z-a \end{matrix} \right )$, (**)

где $\lambda_1 = a+b;~~ \lambda_2 = a-b$ - характеристические числа матрицы $H$.

Заметим, что

$\frac{z-a}{(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)} = \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} + \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)}$ (***)

и

$\frac{b}{(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)} = \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} - \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)}$. (****)

Таким образом, обратная матрица (**) из величин вида (***) и (****). Поскольку интеграл от матрицы (*) сводится (по определнию) к почленному интегрированию от элементов данной матрицы, то нам предстоит вычислить всего два типа интегралов, подставив в (*) вместо выражения (**) его элементы (***) и (****). Однако, легко видеть, что интегралы для элементов матрицы (**) сводятся к обычным интегралам Коши для аналитической функции $f(z) \in \mathbb{C}$, в точках спектра $\lambda_1 = a+b;~~ \lambda_2 = a-b$ матрицы $H$. А именно,

$f_{11}(H)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} f(z) \left (\frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} + \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)} \right)~d z = \frac{f(\lambda_1) + f(\lambda_2)}{2}$
и

$f_{12}(H)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} f(z) \left (\frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} - \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)} \right)~d z = \frac{f(\lambda_1) - f(\lambda_2)}{2}$.

Оставшиеся компоненты матрицы (*) очевидно равны

$f_{22}(H) = f_{11}(H)$ и $f_{21}(H) = f_{12}(H)$.

Откуда, пользуясь изоморфизмом между обычными единицами 1 и $j$ и их матричными эквивалентами $E$ и $J$, окончательно получаем

$f(a + j b) = \frac{f(\lambda_1) + f(\lambda_2)}{2} + j \frac{f(\lambda_1) - f(\lambda_2)}{2}$

или, после подстановки значений для спектра, имеем

$\boxed{f(a + j b) = \frac{f(a+b) + f(a-b)}{2} + j \frac{f(a+b) - f(a-b)}{2}}$. (*****)

Таким образом, мы получили искомую интегральную формулу Коши вида (*), но правая часть которой вполне вычисляется в конечное выражение. В итоге, вместо вычисления интеграла по контуру мы нашли простое выражение для значений аналитической функции $f(z),~z \in \mathbb{C}$ на спектре матрицы числа $h = a + j b \in \mathbb{H}_2$, где $a,~b \in \mathbb{R}$.

Последнюю формулу можно применять для любой функции $f(h),~h \in \mathbb{H}_2$, такой, что определенна аналитическая функция $f(z),~z \in \mathbb{C}$. Например,

$e^{a + j b} = \frac{e^{a+b}+e^{a-b}}{2} + j \frac{e^{a+b}-e^{a-b}}{2} = e^a \left ( \frac{e^b+e^{-b}}{2} + j \frac{e^b-e^{-b}}{2} \right ) = e^a \left ( \text{ch}(b) + j~\text{sh}(b) \right )$.

Естественно, аналогичные примеры для произвольных аналитических функций, можно множить бесконечно.

В каком-то смысле формула (*****) предсказуема, так как еще Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. «Проблемы гидродинамики и их модели» показали, что любая аналитическая в $\mathbb{H}_2$ функция распадается на сумму и разность двух дифференцируемых действительных функций от одной вещественной переменной. У нас представление одной аналитической в $\mathbb{H}_2$ функции сводиться к одной аналитической функции в $\mathbb{C}$. Но если рассматривать отдельно вещественную и гиперболически мнимую части (*****), то получим частный случай $h$-аналитичности (в смысле условий Коши-Римана для двойных чисел). Другими словами, аналитичность функций в $\mathbb{H}_2$, в смысле интеграла Коши (*), является частным случаем $h$-аналитичности функций в $\mathbb{H}_2$, в смысле условий Коши-Римана.

Заметим, что подобная техника легко может быть обобщена на любые поли- и гиперчисла, в частности, кватернионы, для которой вычисленная формула (*) может оказать проще уже известных для этих чисел.

[Scholium]

Интегральная формула Коши для комплексных параболических или дуальных чисел

Применим интегральную формулу Коши для матриц к параболически аналитическим функциям в пространстве $\mathbb{P}_2$.

По аналогии с предыдущим сообщением:

$f(P)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z E - P}~d z$, (*)

где $f(z)$ – произвольная аналитическая функция комплексной переменной, регулярная в области $G \cup \Gamma \subset \mathbb{C}$, ограниченной простым замкнутым контуром $\Gamma$ и содержащая внутри себя характеристические числа (не обязательно все) матрицы $P$; $E$ – единичная матрица.

Для параболических (дуальных) чисел $p = a + b \omega~\simeq P = a E + b \Omega \in \mathbb{P}_2$, где $a,~b \in \mathbb{R}$ и $\omega \simeq \Omega = \left ( \begin{matrix} 0, & 1 \\ 0, & 0 \end{matrix} \right )$, соответственно, параболическая и матричная параболическая единица, такая что $\omega^2 = 0$. Вычисляя знаменатель подинтегрального выражения (*), находим, что

$z E - P = \left ( \begin{matrix} z-a, & -b \\ 0, & z-a \end{matrix} \right )$,

и обратная величина этой матрицы будет

$(z E - P)^{-1} = \left ( \begin{matrix} \frac{1}{z-a}, & \frac{b}{(z-a)^2} \\ 0, & \frac{1}{z-a} \end{matrix} \right )$, (**)

где $a$ - характеристическое число матрицы $P$ кратности 2.

Таким образом, обратная матрица (**) состоит из величин вида

$\frac{1}{z-a}$ и $\frac{b}{(z-a)^2}$. (***)

Поскольку интеграл от матрицы (*) сводится (по определнию) к почленному интегрированию от элементов данной матрицы, то нам предстоит вычислить всего два типа интегралов, подставив в (*) вместо выражения (**) его элементы (***). Однако, легко видеть, что интегралы для элементов матрицы (**) сводятся к обычным интегралам Коши для аналитической функции $f(z) \in \mathbb{C}$, в кратной точке спектра $a$ матрицы $P$. А именно,

$f_{11}(P)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)~d z}{z-a} = f(a)$

и

$f_{11}(P)=\frac{b}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)~d z}{(z-a)^2} = b f’(a)$.

Оставшиеся компоненты матрицы (*) очевидно равны

$f_{22}(P) = f_{11}(P)$ и $f_{21}(P) = 0$.

Откуда, пользуясь изоморфизмом между обычными единицами 1 и $\omega$ и их матричными эквивалентами $E$ и $\Omega$, окончательно получаем

$\boxed{ f(a + b \omega) = f(a) + b f’(a) \omega }$. (****)

Таким образом, мы получили искомую интегральную формулу Коши вида (*), но правая часть которой вполне вычисляется в конечное выражение. В итоге, вместо вычисления интеграла по контуру мы нашли простое выражение для значений аналитической функции $f(z),~z \in \mathbb{C}$ на спектре матрицы числа $p = a + b \omega \in \mathbb{P}_2$, где $a,~b \in \mathbb{R}$.

Последнюю формулу можно применять для любой функции $f(p),~p \in \mathbb{P}_2$, такой, что определенна аналитическая функция $f(z),~z \in \mathbb{C}$. Например,

$e^{a + b \omega} = e^a+b e^a \omega = e^a (1 + b \omega)$.

Сморите, аналогичную формулу у Диментберг Ф.М. «Винтовое исчисление и его приложения».

[Time]

Спасибо за приведенный пример. К сожалению голова уже не соображает. Три дня готовился к докладу на семинаре в ФИАН'е и только что с него.. Что называется, выдохся. Передохну пару дней, тогда попробую разобраться, что же у Вас получилось.
Однако один вопрос хотелось бы задать уже сейчас. Если я правильно помню, то интегральная формула Коши на комплексной плоскости позволяла получить длину единичной окружности, вычисляя ее от конца действительного вектора и совершая его полный оборот. Позволяет ли подобное вычисление для ПОЛНОГО "оборота" на псевдоевклидовой плоскости $H_2$ получить "длину" ТАКОЙ кривой? Или я что-то путаю в комплексном случае и длина окружности там не возникала?

[Scholium]

Time писал(а):

Спасибо за приведенный пример. К сожалению голова уже не соображает. Три дня готовился к докладу на семинаре в ФИАН'е и только что с него.. Что называется, выдохся. Передохну пару дней, тогда попробую разобраться, что же у Вас получилось.
Однако один вопрос хотелось бы задать уже сейчас. Если я правильно помню, то интегральная формула Коши на комплексной плоскости позволяла получить длину единичной окружности, вычисляя ее от конца действительного вектора и совершая его полный оборот. Позволяет ли подобное вычисление для ПОЛНОГО "оборота" на псевдоевклидовой плоскости $H_2$ получить "длину" ТАКОЙ кривой? Или я что-то путаю в комплексном случае и длина окружности там не возникала?

Отдыхайте спокойно, голова она не «железная», требует уважительного к себе отношения :) .

Длина единичной окружности это, по сути, полное изменение ее аргумента от нуля до $2 \pi$. Главное и выделенное свойство эллиптических комплексных чисел, это ограниченность и замкнутость их линий равного модуля, а соответственно и аргумента, относящегося к этим линиям. У параболических и гиперболических комплексных чисел это не так. Поэтому для отсечения точки от плоскости достаточно ОДНОЙ ограниченной замкнутой линии равного модуля, что дает конечность изменения ее аргумента. Другие гиперкомплексные системы на плоскости не позволяют ОДНОЙ линией равного аргумента отсечь точку от плоскости, а несколько линий всегда приводят к тому, что их аргумент и модуль сначала увеличивается, а потом уменьшается, что приводит к вырожденности интеграла типа Коши (тождественного равенства его нулю) для гиперкомплексных чисел (см. мой пример по непосредственному вычислению интеграла Коши для двойных чисел, уверен, для дуальных чисел будет тоже самое).

Для пространственных поли- и гиперчисел нужно уже отсекать точку от пространства не линией, а поверхностью, а это уже принципиальное усложнение интеграла Коши для обычной комплексной плоскости. Отсекаемость точки от плоскости ОДНОЙ линией равного модуля необходимо для проведения доказательства формулы Коши, поэтому в своем известном виде она возможна только для обычных комплексных чисел. В других числовых системах ее возможные аналоги будут иметь принципиальные отличия.

Однако вполне можно ставить вопрос об эффективной вычислимости аналитической в $\mathbb{C}$ функции на своем аргументе равном некоторому поли- или гиперчислу. Матричное представление формулы Коши вполне позволяет сделать это, так как является обобщением определения функций от матриц на полиномах. Доказывается ее аналитическая зависимость от этих матриц, т.е. сама эта формула по сути является ОПРЕДЕЛЕНИЕМ аналитической функции от матриц, а следовательно и от изоморфных им поли- и гиперчисел. Более того, данная формула позволяет определять аналитические функции от произвольных линейных операторов, в том числе бесконечномерных, но это уже другой вопрос, рассматриваемый в теории операторов в функциональном анализе.

Для нас важно то, что формулу Коши для матриц можно непосредственно применять для вычисления интересующих нас поли- и гиперчисел, сводя функцию от этих чисел к значениям этой функции на, в общем случае, их комплексном спектре с определенными комплексными коэффициентами или к эвивалентным действительным значения, но более высокого порядка. Уже представленные формулы для гиперболических и параболических чисел, показывают эффективность формулы Коши для матриц. Сейчас я готовлю аналогичную формулу для кватернионов.

Что касается вычисления длины кривых для линий равного модуля для двойных и дуальных чисел, то да, можно вычислять длину этих кривых, фиксируя модуль и изменяя аргумент. Только аргумент будет меняться от минус бесконечности до плюс бесконечности и давать в итоге бесконечную длину, что очевидно и без вычислений в силу незамкнутости этих линий равного модуля. При конечных изменениях аргумента будем получать произвольные конечные отрезки этих кривых. Но сама по себе эта процедура малоинтересна, главное, что эти кривые не замкнутые и не позволяют одной линией отсечь точку от плоскости. Еще раз, эллипс ограничен, а гиперболы и прямые (для дуальных чисел) – нет. Поэтому все будет сводиться к комплексным числам или к ее вещественному подпространству.

[Time]

Scholium в сообщении #319530 писал(а):

Для пространственных поли- и гиперчисел нужно уже отсекать точку от пространства не линией, а поверхностью, а это уже принципиальное усложнение интеграла Коши для обычной комплексной плоскости. Отсекаемость точки от плоскости ОДНОЙ линией равного модуля необходимо для проведения доказательства формулы Коши, поэтому в своем известном виде она возможна только для обычных комплексных чисел. В других числовых системах ее возможные аналоги будут иметь принципиальные отличия.

Думаю, Вы несколько поспешили с выводами. Во всяком случае для пространства связанного с поличислами ${C}\oplus{C}$ есть вариант обхода точки по одномерному контуру, хотя пространство четырехмерно (для вещественных координат). Это возможно потому, что делители нуля в этом финслеровом пространтсве представляют собой объединение пересекающихся в одной точке двух двумерных плоскостей, которые не делят все четырехмерное пространство на несколько односвязных зон, как это было в пространствах связанных с двойными или с четверными числами. Мы с Гарасько получили аналог формулы Коши именно для поличисел ${C}\oplus{C}$ и я бы хотел сравнить наш результат с "Вашим" именно в этом случае. Если окажется, что они совпадают, значит, мы просто переоткрыли на "своем" языке, то что было сделано на матрицах, ну а если нет - подумаем, из-за чего возникают различия. В этом пространстве мы можем хитрым образом поворачивать, например, действительный единичный вектор последовательно проходя им совпадения с остальными единичными (уже мнимыми) векторами и возвращаться в исходное положение ни разу не упираясь в плоскости делителей нуля, а обходя их стороной. Попробуйте вычислить длину таких замкнутых контуров исходя из "своего" варианта формулы Коши. На таком языке мне легче понять, есть ли в наших вариантах данной формулы разница или нет..

К двойным числам и к "длине" для их пространства "замкнутой" единичной окружности (а не отдельных ветвей гипербол) мы сможем вернуться после того как сравним результаты для ${C}\oplus{C}$.

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Для пространственных поли- и гиперчисел нужно уже отсекать точку от пространства не линией, а поверхностью, а это уже принципиальное усложнение интеграла Коши для обычной комплексной плоскости. Отсекаемость точки от плоскости ОДНОЙ линией равного модуля необходимо для проведения доказательства формулы Коши, поэтому в своем известном виде она возможна только для обычных комплексных чисел. В других числовых системах ее возможные аналоги будут иметь принципиальные отличия.

Думаю, Вы несколько поспешили с выводами. Во всяком случае для пространства связанного с поличислами ${C}\oplus{C}$ есть вариант обхода точки по одномерному контуру, хотя пространство четырехмерно (для вещественных координат). Это возможно потому, что делители нуля в этом финслеровом пространтсве представляют собой объединение пересекающихся в одной точке двух двумерных плоскостей, которые не делят все четырехмерное пространство на несколько односвязных зон, как это было в пространствах связанных с двойными или с четверными числами.

Ладно, не буду пока спорить, так как теоремы общего плана весьма трудно как доказывать, так и опровергать. Если дадите матрицы своих независимых единиц, то я получу аналог их интегральной формулы Коши для матриц, который вычисляется в конечное выражение. Ни финслеровая, либо другая метрика, ни явное знание подпространств делителей нуля мне для этого не понадобятся.

Кстати, я уже получил аналог интегральной формулы Коши для кватернионов, вычисленный в конечное выражение. Поскольку кватернионы не есть прямая тема этого топика, то я готовлю отдельную тему, думаю, что через несколько часов в этом разделе эта ветка будет опубликована. Тем не менее, если Вы не возражаете, то этот материал, как и последний материал Ваших двух тем я предполагаю включить в нашу общую статью.

Time писал(а):

Мы с Гарасько получили аналог формулы Коши именно для поличисел ${C}\oplus{C}$ и я бы хотел сравнить наш результат с "Вашим" именно в этом случае. Если окажется, что они совпадают, значит, мы просто переоткрыли на "своем" языке, то что было сделано на матрицах, ну а если нет - подумаем, из-за чего возникают различия. В этом пространстве мы можем хитрым образом поворачивать, например, действительный единичный вектор последовательно проходя им совпадения с остальными единичными (уже мнимыми) векторами и возвращаться в исходное положение ни разу не упираясь в плоскости делителей нуля, а обходя их стороной. Попробуйте вычислить длину таких замкнутых контуров исходя из "своего" варианта формулы Коши. На таком языке мне легче понять, есть ли в наших вариантах данной формулы разница или нет..

Я уже сказал, для этого мне нужны матрицы Ваших независимых единиц. Кстати, длину замкнутых контуров не надо вычислять даже для комплексной плоскости. Все, что мы делаем там, так это вычисляем изменение аргумента для замкнутой окружности, радиус которой сокращается, а потому может быть положен какой угодно малой величиной. Главное, что изменение аргумента конечно (от нуля до $2 \pi$). Конечно, нет проблем вычислить длину окружности, но в явном виде это нам не надо. Я уже объяснял в том кусочке статьи, что посылал Вам, для чего нужно обходить точку, в которой вычисляется значение функции. Форма кривой значения не имеет, главное, чтобы она непрерывно стягивалась в точку. Также не имеет значения пересекаемость линий делителей нуля (наверное это касается и плоскостей). Я пробовал вычислять варианты обхода точки в $\mathbb{H}_2$ по различным контурам, в том числе по бесконечным гиперболам. Результат один и тот же, при обходе точки аргументы и модули линии обхода всегда взаимно компенсируются. Я проверял это для достаточно общих случаев. Это приводит к тому, что интеграл Коши в $\mathbb{H}_2$ (когда и контур обхода лежит в в $\mathbb{H}_2$) всегда равен нулю. Поэтому, чтобы вычислить значение функции $f(h)$ в точке $h \in \mathbb{H}_2$, нужно воспользоваться интегральной формулой Коши для матриц, когда контур обхода лежит в $\mathbb{C}$, а значение функции ищется на матрице числа $h \in \mathbb{H}_2$. Эффективный результат можете посмотреть пару сообщений назад.

Time писал(а):

К двойным числам и к "длине" для их пространства "замкнутой" единичной окружности (а не отдельных ветвей гипербол) мы сможем вернуться после того как сравним результаты для ${C}\oplus{C}$.

Зачем возвращаться, нужный результат для двойных чисел уже опубликован, пару сообщений назад.

[Time]

Scholium в сообщении #319682 писал(а):

Если дадите матрицы своих независимых единиц, то я получу аналог их интегральной формулы Коши для матриц, который вычисляется в конечное выражение. Ни финслеровая, либо другая метрика, ни явное знание подпространств делителей нуля мне для этого не понадобятся.

Я ж Вам их уже выписывал. И в изотропном базисе, и в "ортонормированном". Посмотрите предыдущие посты.. Мне очень интересно, что у Вас получится..

Scholium в сообщении #319682 писал(а):

Кстати, я уже получил аналог интегральной формулы Коши для кватернионов, вычисленный в конечное выражение. Поскольку кватернионы не есть прямая тема этого топика, то я готовлю отдельную тему, думаю, что через несколько часов в этом разделе эта ветка будет опубликована.

Мне кватернионы не сильно интересны, но глянуть - гляну..

Scholium в сообщении #319682 писал(а):

Кстати, длину замкнутых контуров не надо вычислять даже для комплексной плоскости. Все, что мы делаем там, так это вычисляем изменение аргумента для замкнутой окружности, радиус которой сокращается, а потому может быть положен какой угодно малой величиной. Главное, что изменение аргумента конечно (от нуля до ). Конечно, нет проблем вычислить длину окружности, но в явном виде это нам не надо.

Я это знаю. Но как бы не было для Вас не интересно вычисление единичной окружности важно для меня. Поэтому даже если Вам это не надо, прошу привести именно такой результат..

Ваш тривиальный результат с нулем для $H_2$ я уже видел от нескольких человек. Я имею ввиду другие результаты, не сводящиеся к обычному нулю. Но об этом поговорим после Вашего анализа случая бикомплексных чисел и связанного с ними пространства.

[Руст]

Цитата:

Поэтому, чтобы вычислить значение функции $f(h)$ в точке $h \in \mathbb{H}_2$, нужно воспользоваться интегральной формулой Коши для матриц, когда контур обхода лежит в $\mathbb{C}$, а значение функции ищется на матрице числа $h \in \mathbb{H}_2$. Эффективный результат можете посмотреть пару сообщений назад.

Да интегрирование по гиперболам так же не помогает. Правда при этом появляются расходимости.
Формулы с интегрированием в комплексной плоскости известны не только для матриц, но и для операторов в бесконечномерном пространстве, когда появляются нестандартные (по отношению к конечномерному случаю) ситуации. Посмотрите zeta функции для операторов.