Двумерные случайные величины. непонятно условие

[shur]

Неясно условие.

Найти $C$, $f_{\xi}(x)$, $M\xi$, $D\xi$,$f_{\eta}(y)$,$M\eta$,$D\eta$, $K_{\xi\eta}$, если$f_{\xi\eta}=C(2x-2y)I_{\Delta ABC}(x,y)$, где $A(0,0)$, $B(0,1)$, $C(2,0)$

Неясно откуда в плотности вероятности? взялась приставка $I_{\Delta ABC}(x,y)$ Это какая-то функция в треугольнике или это таким образом подчеркивается, что плотность распределения определена в треугольнике?

Правильно ли я выписал, как считать соответствующие величины?

$1=C\int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{0}^{-0,5x+1}(2x+2y)dy$ => $C=...$

$f_{\xi}(x)=C\int\limits_{0}^{{-0,5x+1}}(2x+2y)dy$

$M\xi = \int\limits_{0}^{1}xf_{\xi}(x)dx$

$D\xi=\int\limits_{0}^{1}x^2f_{\xi}(x)dx-(M\xi)^2$

$f_{\eta}(y)=C\int\limits_{0}^{2}(2x+2y)dx$

$M\eta = \int\limits_{0}^{2}yf_{\eta}(y)dy$

$D\eta = \int\limits_{0}^{2}y^2f_{\eta}(y)dy-(M\eta)^2$

$M\xi \eta=C\int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{0}^{-0,5x+1}xy(2x+2y)dy$

$K_{\xi\eta}=M\xi \eta - (M\eta)(M\xi)$

[Alexey1]

Функция индикатор определена как

$$I_{\Delta ABC}(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc}1, & (x,y) \in \Delta ABC \\ 0, & (x,y) \notin \Delta ABC \\ \end{array}$$

Поэтому условие из которого надо находить константу $C$ составлено правильно (если в первоначальном варианте $f_{\xi \eta}(x,y)$ опечатка, вместо минуса должен быть плюс).
Область значений $x,y$ есть отрезки $[0;2], [0;1]$, соответственно, значит и пределы интегрирования для $M\xi, D\xi, M\eta, D\eta$ должны быть другие.
Пределы интегрирования для $f_{\eta}(y)$ тоже должны быть другие (посмотрите как Вы находили $f_{\xi}(x)$).

[shur]

Alexey1 в сообщении #318197 писал(а):

Функция индикатор определена как

$$I_{\Delta ABC}(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc}1, & (x,y) \in \Delta ABC \\ 0, & (x,y) \notin \Delta ABC \\ \end{array}$$

Поэтому условие из которого надо находить константу $C$ составлено правильно (если в первоначальном варианте $f_{\xi \eta}(x,y)$ опечатка, вместо минуса должен быть плюс).
Область значений $x,y$ есть отрезки $[0;2], [0;1]$, соответственно, значит и пределы интегрирования для $M\xi, D\xi, M\eta, D\eta$ должны быть другие.
Пределы интегрирования для $f_{\eta}(y)$ тоже должны быть другие (посмотрите как Вы находили $f_{\xi}(x)$).

Спасибо, Alexei1!!!

А почему плюс? Ведь наклон прямой отрицательный... (прямой, проходящей через точки $(0;1)$ и $(2;0)$)

[ewert]

shur в сообщении #318269 писал(а):

А почему плюс? Ведь наклон прямой отрицательный...

Потому что плотность должна быть неотрицательной (а прямая тут и вовсе не при чём).

[shur]

$f_{\xi}(x)=C\int\limits_{0}^{{-0,5x+1}}(2x+2y)I_{\Delta ABC}(x,y)dy$

$f_{\eta}(y)=C\int\limits_{0}^{2-2y}(2x+2y)I_{\Delta ABC}(x,y)dx$

$M\xi \eta=C\int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{0}^{-0,5x+1}xy(2x+2y)dy$

$K_{\xi\eta}=M\xi \eta - (M\eta)(M\xi)$

Теперь правильно?

[ewert]

Во-первых, маргинальные плотности тоже должны умножаться на соотв. индикаторы. Во-вторых, здесь

shur в сообщении #318273 писал(а):

$M\xi \eta=C\int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{0}^{1}xy(2x+2y)dy$

пределы расставлены неверно, естественно.

[shur]

Исправил! похоже на правду?

[ewert]

Формально -- да (правда, за арифметикой внимательно не следил). Только насчёт плотностей -- речь шла не совсем про это. А про то, что на выходе окончательное выражение должно умножаться на индикатор.

[shur]

Правильно ли рассуждаю?)
Допустим я нашел константу, теперь

$$f_{\xi}(x)=\int\limits_{0}^1 f_{\xi\eta}dy=C\int\limits_{0}^1 (2x+2y)I_{\Delta ABC}(x,y)dy=C\cdot I_{\Delta ABC}(x,y)\int\limits_{0}^1 (2x+2y)dy=2C\cdot I_{\Delta ABC}(x,y)\left.(\dfrac{y^2}2+xy)\right|_{0}^{1}=C(2x+1)I_{\Delta ABC}(x,y)$$

$M\xi =\int\limits_{0}^{2}xf_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{2}xC(2x+1)I_{\Delta ABC}(x,y)dx$

Математическое ожидание будет зависеть от индикатора, может ли быть такое?

[ewert]

Чушь какая-то. Предыдущие версии типа

shur в сообщении #318192 писал(а):

$f_{\xi}(x)=C\int\limits_{0}^{{-0,5x+1}}(2x+2y)dy$

были гораздо грамотнее. Там оставалось только прикинуть, при каких иксах это верно, а при каких -- нет. Т.е., собственно, и умножить получающийся результат на соотв. индикатор только по иксам.

[shur]

Ясно! Смысл понял, только как это оформить...Можно ли так?!

$f_{\xi}(x)=C\int\limits_{0}^{{-0,5x+1}}(2x+2y)dy\cdot \theta (1-x)\cdot \theta(x)$

[shur]

Ух $\theta (2-x)$, а не $\theta (1-x)$

[Alexey1]

А что такое $\theta(x)$? Вам же сказали, что надо $f_{\xi}(x)=C\int_{0}^{-0,5x+1}(2x+2y)dy$ умножить на индикатор по иксам. Какие значения может принимать $x$ чтобы оставаться на стороне треугольника $ABC$ лежащей на оси $Ox$?

[shur]

$$\theta (x)=\left\{ \begin{array}{cc}1, & x >0 \\ 0, & x<0 \\ \end{array}$$

$$\theta (x)\cdot \theta (2-x)=\left\{ \begin{array}{cc}1, & x \in (0;2) \\ 0, & x \notin (0;2) \\ \end{array}$$

-- Ср май 12, 2010 19:02:02 --

Alexey1 в сообщении #318480 писал(а):

А что такое $\theta(x)$? Вам же сказали, что надо $f_{\xi}(x)=C\int_{0}^{-0,5x+1}(2x+2y)dy$ умножить на индикатор по иксам. Какие значения может принимать $x$ чтобы оставаться на стороне треугольника $ABC$ лежащей на оси $Ox$?

Спасибо! от $0$ до $2$

-- Ср май 12, 2010 19:03:03 --

Как это нормально оформить - непонятно!!!

[Alexey1]

Если так определить $\theta(x) \cdot \theta(2-x)$, то тогда правильно. Только обычно индикатор пишется как $\mathb1_{[0;2]}$.