Помогите с несобственными интегралами

[Everest]

Здравствуйте. Хочу попросить помочь с 3 несобственными интегралами. Несобственные интегралы изучал достаточно давно и тут возникла необходимость вспомнить. Для этого взял сборник задач Кудрявцева и начал решать оттуда номера (2 том параграф 12 номера 64-81). Если можете подскажите, пожалуйста :)

Возникла сложность со следующими.

Исследовать на сходимость интегралы:

74. $\int^{+\infty}_{0}\frac{sin(\frac{1}{x})}{(x-cos(\frac{\pi}{x}))^2}dx$.
76. $\int^{+\infty}_{-\frac{3}{2}}\frac{x+3}{x^2\sqrt{2x+3}}dx$.
77. $\int^{+\infty}_{0}(\frac{1}{x\sh{x}}-\frac{1}{x})dx$.

Мои мысли:

74. Делаем замену: $\frac{1}{x}=t$. Соответственно, интеграл примет вид:
$\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin{t}dt}{(1-t\cos{\pi t})^2}dt$.
Получили интреграл по бесконечному промежутку. В $t=0$ проблем уже нет. Дальше, что ни пробывал - к чему-то путнему не привело.

76. Здесь пробывал разбить интеграл на 4. Так как интеграл по бесконечному промежутку и подынтегральная функция неограничена в точках $x=0, x=-\frac{3}{2}$. Но тоже до конца додумать не смог.

77. Здесь интеграл по бесконечному промежутку и подынтегральная функция неограничена в точке $x=0$. Привел к общему знаменателю. Пробывал делать замену. Пробывал воспользоваться эквивалентностями и признаками сравнения, но ничего не получилось.

Очень прошу помогите :)

[AD]

74. Вы уверены, что можете спокойно смотреть на бесконечное число особенностей, почти все из которых расходятся?

-- Вт май 11, 2010 15:08:35 --

76--77. Так здесь же банальное $\frac1{x^2}$ в окрестности нуля.

[Everest]

Вы уж простите если сейчас задам глупый вопрос :) Давно это было :)

Если у интеграла две особенности: он по бесконечному промежутку и допустим функция неограничена в какой-то точке, то разобъем его на два. Следует ли из того, что один из них будет расходиться (и мы не знаем будет ли расходящимся или сходящимся второй) расходимость исходного интеграла?



А про 77 - по ответам он сходится :(

[ИСН]

Первое - да, а второе - ну, тут каждый сам выбирает, чему верить: ответам или собственным глазам. К примеру, стоишь перед болотом, где только что утонуло несколько машин, а GPS говорит: ехать прямо.

[AD]

Everest в сообщении #317975 писал(а):

Следует ли из того, что один из них будет расходиться (и мы не знаем будет ли расходящимся или сходящимся второй) расходимость исходного интеграла?

Ага. Если хоть где-то не сходится - значит не сходится. Этот не глупый вопрос, это вопрос про определения.

Everest в сообщении #317975 писал(а):

А про 77 - по ответам он сходится :(

Невероятно. Ни там ни там не сходится. На бесконечности просто меньше $-\frac1{100x}$ при $x>100$.

(Еще об определениях)

Интеграл собственный, если сам взял, и несобственный, если списал. Интеграл сходящийся, если сходится с ответом, и расходящийся, если не сходится.

[Everest]

С 76 и 77 разобрался :) Спасибо :)

А в 74 лучше с каким интегралом сравнение проводить?

[AD]

$\frac1{(x-x_n)^2}$, где $x_n$ есть $n$-ый корень уравнения $x=\cos\frac{\pi}x$.

З.Ы. Есть такая модная фишка - писать косинус вот так: $\cos x$.
Гораздо приятнее, чем $cosx$. Если, конечно, не имеется ввиду $c\cdot o\cdot s\cdot x$.

[Everest]

Буду иметь ввиду :) Спасибо огромное :)

[ewert]

ну, остался вроде как только 74-й. Наиболее идиотский.

Поскольку там корни числителя заведомо не совпадают с корнями знаменателя -- и поскольку в каждом из корней знаменателя расходимость очевидна -- то и вопрос празден.

Не понимаю, кто такие дурацкие задачки сочиняет.

[Everest]

ewert, Вам тоже спасибо за указание :)

[ewert]

А это вовсе и не я, это

AD в сообщении #317968 писал(а):

74. Вы уверены, что можете спокойно смотреть на бесконечное число особенностей, почти все из которых расходятся?

Я только лишь в свою очередь удивился.