Теорема Коши о среднем значении

[caxap]

Не буду всю её сюда переписывать. Думаю, все поймут что здесь что значит:

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$

Так вот. Есть в теореме условие: $g'(x)$ не должна обращаться в 0 на (a,b). Ещё видел формулировку, что $g'(x)$ и $f'(x)$ не должны одновременно обращаться в 0 на (a,b). Какое из этих условий верное?

[meduza]

Никаких таких условий не нужно, если переписать формулку без дробей.

[paha]

Если левая часть определена, то всегда найдется такое $c\in[a;b]$

а если $g(a)=g(b)$, то теорема сводится к предыдущей

[ewert]

caxap в сообщении #317674 писал(а):

Есть в теореме условие: $g'(x)$ не должна обращаться в 0 на (a,b). Ещё видел формулировку, что $g'(x)$ и $f'(x)$ не должны одновременно обращаться в 0 на (a,b). Какое из этих условий верное?

Оба верные. Формально второе требование лучше, т.к. оно более слабое (а сама теорема, соответственно, выглядит сильнее). Но зато первое условие проще и естественнее, да и для приложений только этот вариант и интересен.

paha в сообщении #317841 писал(а):

а если $g(a)=g(b)$, то

утверждение теоремы лишается смысла.

paha в сообщении #317841 писал(а):

Если левая часть определена, то всегда найдется такое $c\in[a;b]$

Не всегда. Что-то про запрет нулей сказать всё-таки нужно.

[caxap]

paha, ewert, а верно ли то, что meduza написал? Если да, то зачем тогда вообще записывают с отношением, ведь с ними теорема слабже становится и сложней из-за лишних ограничений?

[AD]

caxap в сообщении #317970 писал(а):

зачем тогда вообще записывают с отношением

Чтобы хоть что-нибудь понятно было

[paha]

Конечно, функции должны быть непрерывно дифференцируемыми.

ewert в сообщении #317854 писал(а):

Не всегда. Что-то про запрет нулей сказать всё-таки нужно.

Да:) утверждение $(f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(x)=0$ (спасибо meduza
) говорит всего лишь о том, что у любой дифференцируемой кривой $r(t)=(g(a+t),f(a+t))$ на плоскости, соединяющей точку $A(g(a),f(a))$с точкой $B(g(b),f(b))$ найдется касательный вектор, коллинеарный $\vect{AB}$, что очевидно в случае регулярной кривой... конечно, нужно потребовать, чтобы одновременно производные в нуль не обращались, иначе полукубическая парабола рулит

-- Вт май 11, 2010 16:08:45 --

Вот таки контрпример (общий ноль): $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$, $a=-1$, $b=1$

[ewert]

caxap в сообщении #317970 писал(а):

paha, ewert, а верно ли то, что meduza написал?

Написал правильно, но несколько ненужно. Практически важен вариант именно с дробями. Он важен в первую очередь для правила Лопиталя, где интересны именно дроби. Причём там приходится использовать именно этот "ослабленный" вариант теоремы Коши -- с абсолютным запретом на нули производной в знаменателе. А вот зачем может понадобиться "усиленный" вариант этой теоремы, с несовпадением корней вверху и внизу -- мне так сразу и не припоминается.

paha в сообщении #318008 писал(а):

Конечно, функции должны быть непрерывно дифференцируемыми.

Совершенно непонятно зачем. Сама по себе непрерывность производных никак и не помогает в случае наличия нулей, и не нужна в случае их отсутствия.

paha в сообщении #318008 писал(а):

Вот таки контрпример (общий ноль): $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$, $a=-1$, $b=1$

У меня был контрпример гораздо грубее: $f(x)\equiv g(x)$ при $x\geqslant x_0$ и $g(x)=\mathrm{const}$ при $x\leqslant x_0$. Ну или конкретнее, для только одного нуля (тоже на $[-1;1]$): $f(x)=x^2$, в то время как $g(x)=x^2$ при $x\geqslant0$ и $g(x)=2x^2$ при $x\leqslant0$. Ну и сгладить при желании тоже легко, заменив всюду $x^2$ на $e^{-1/x^2}$.

[caxap]

ewert в сообщении #318023 писал(а):

Написал правильно, но несколько ненужно. Практически важен вариант именно с дробями.

Мне кажется, что теорема должна быть в наиболее сильном виде, с минимумом ограничений. А когда её уже будут применять (напр. в Лопитале), то там уже поделят и оговорят, что числитель не 0. Зачем сразу это сувать в теорему (причем в условии не оговаривается, что если мы крест-на-крест перемножим, то условие на знаменатель пропадёт, хотя это так). Или я не прав?

[paha]

ewert в сообщении #318023 писал(а):

Совершенно непонятно зачем. Сама по себе непрерывность производных никак и не помогает в случае наличия нулей, и не нужна в случае их отсутствия.

Попробуйте $g(x)=x$, $f(x)=|x|$, $a=-1$, $b=1$

[ewert]

caxap в сообщении #318102 писал(а):

Мне кажется, что теорема должна быть в наиболее сильном виде, с минимумом ограничений.

В настолько "сильном" виде утверждение выглядит искусственным и никому не нужно. Никто его так и не формулирует.

paha в сообщении #318185 писал(а):

ewert в сообщении #318023 писал(а):

Совершенно непонятно зачем. Сама по себе непрерывность производных никак и не помогает в случае наличия нулей, и не нужна в случае их отсутствия.

Попробуйте $g(x)=x$, $f(x)=|x|$, $a=-1$, $b=1$

Не хочу. В теореме Коши (и всех смежных с ней) предполагается дифференцируемость во всех внутренних точках, а Вы тут мне модуль подсовываете. Но это ещё вовсе не означает, что предполагается непрерывная дифференцируемость.