Комплексные числа (решить/сократить выражение)

[p4elka1986]

Есть вот такое выражение:
$\frac{(\frac{(5 - i)^2}{5 - i} - i) + ((5 + i)i^{125}) - (2 + 13i)}{((\frac{(3 + 4i)^2}{3 - 4i} - 4i)(i - 4) + 10 + 5i)}$.

Числитель у меня сократился до: $2 - 10i$.

Знаменатель получился слегка дикий: $\frac{232i + 774}{25}$. Решала обычным путем, без всяких формул, просто сокращая, перемножая... В учебнике дан ответ: $1$.
Она у меня мягко говоря не выходит
Может у меня ошибка? Или дан неверный ответ. Посмотрите, пожалуйста.

[Mitrius_Math]

А у Вас в знаменателе со скобками всё в порядке?

[Maslov]

И числитель тоже проверьте: там действительно $\dfrac {(5-i)^2} {5-i}$ ?

[p4elka1986]

Скобку исправила. Пыталась решать меняя знаки в дроби числителя, все равно не то..

[Mitrius_Math]

C комплексными числами можно работать как с обычными многочленами, не забывая лишь про тот замечательный факт, что $i^2=-1$ (значит, и в ответе степень $i$ не должна быть выше $1$). Тогда очевидно, что, например, $i^{125}=i^{124} \cdot i=(i^2)^{62} \cdot i= (-1)^{62} \cdot i = i $

[p4elka1986]

Это я, конечно, учла. А так же $i^{125} = 1$.
Вроде все правильно решено, только вот ответ не сходится. Ошибка в задании или я где-то все-таки смогла напортачить?

[Mitrius_Math]

Чтобы избавляться от дробей вида $\frac{a+bi}{c+di}$, нужно умножать числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, то есть, $c-di$, тогда в знаменателе получится действительное число.

-- Чт май 06, 2010 12:36:33 --

Странно вот что: $\frac{(5-i)^2}{5-i}$, т.к. это $5-i$.

[p4elka1986]

Да, слишком легко тогда получается.

[ИСН]

p4elka1986 в сообщении #316106 писал(а):

А так же $i^{125} = 1$

say that again

[p4elka1986]

Если $\frac{(5 - i)^2}{5 + i}$, числитель $= \frac{16 - 154i}{13}$.

Если $\frac{(5 + i)^2}{5 - i}$, числитель $= \frac{42 - 80i}{13}$.

[ewert]

ИСН в сообщении #316112 писал(а):

p4elka1986 в сообщении #316106 писал(а):

А так же $i^{125} = 1$

say that again

А слабО то же самое, но по-человечески (в смысле по-русски)?...

[arseniiv]

ewert в сообщении #316280 писал(а):

А слабО то же самое, но по-человечески (в смысле по-русски)?...

ИСН в сообщении #316112 писал(а):

say that again

"скажи это снова" Главное, что Mitrius_Math в предыдущем сообщении написал правильно!