Сходимость несобственного интеграла

[Nasta]

Здравствуйте, пытаюсь решить пример с контрольной и не понимаю немного.
(Исправлено)Необходимо исследовать сходимость несобственного интеграла $\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}$
Его для этого надо решить? если да то у меня получается предел от интеграла, а вот что дальше делать с подынтегральной функцией я не знаю.

[Xaositect]

Его надо исследовать на сходимость, а решить интеграл вообще нельзя. Решают задачу, а интеграл при этом берут, или вычисляют. Но здесь это не нужно.

Вы какие признаки сходимости несобственных интегралов знаете?
И еще, такие интегралы: $\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ и $\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}$ Вам знакомы?

[paha]

"Несобственность" интеграла распадается на две, согласно равенству

Nasta в сообщении #317462 писал(а):

$\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}$

$$ =\lim\limits_{a\to 0+}\int\limits_{a}^{t} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}+ \int\limits_{t}^{T} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}+ \lim\limits_{R\to +\infty}\int\limits_{T}^{R} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}$$

для любых $t\le T$.

Если один из пределов равен бесконечности -- интеграл расходится...

[Nasta]

Спасибо, счас попробую...
Хотя я пока ждала ответа, то почитала в нете и подумала что можно путем сравнения доказать что он сходится, или нельзя так?

Извиняюсь, я ошиблась в условии.. у меня пределы интегрирования от 1, а не от 0

[Xaositect]

Nasta в сообщении #317468 писал(а):

Хотя я пока ждала ответа, то почитала в нете и подумала что можно путем сравнения доказать что он сходится, или нельзя так?

Можно. Разделить на две части, а потом сравнивать.
Я даже написал с чем примерно сравнивать.

[Nasta]

Спасибо большое, я поняла уже, осталось оформить красиво :)

-- Пн май 10, 2010 01:37:15 --

В общем получается так...
Исходный интеграл $\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}$
сравниваю подынтегральную функцию с большей функций $\frac{1}{x^2}$
т.е. у меня исходная подынтегральная функция больше 0 и меньше $\frac{1}{x^2}$
Интеграл от $\frac{1}{x^2}$ равен единице, поэтому он сходится. Следовательно сходится исходный. Так?

[paha]

Nasta в сообщении #317471 писал(а):

у меня исходная подынтегральная функция больше 0 и меньше $\frac{1}{x^2}$

неправильно

[Xaositect]

Nasta в сообщении #317471 писал(а):

В общем получается так...
Исходный интеграл $\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}$
сравниваю подынтегральную функцию с большей функций $\frac{1}{x^2}$
т.е. у меня исходная подынтегральная функция больше 0 и меньше $\frac{1}{x^2}$
Интеграл от $\frac{1}{x^2}$ равен единице, поэтому он сходится. Следовательно сходится исходный. Так?

$\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}$ - сходится. Только сравнивать надо не с $\frac{1}{x^2}$, а с $\frac{1}{x^{5/3}}$.
Но у Вас в первом сообщении написано $\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{dx}{x \sqrt[3]{x^2+1}}$

[Nasta]

Да, у меня от 1 предел, я потом написала, что ошиблась когда пыталась его тут изобразить с учетом помощи. Мой конечный вариант решения верный получается все же?

[Xaositect]

Неверно, что $\frac{1}{x\sqrt[3]{x^2 + 1}}<\frac{1}{x^2}$.

[Nasta]

Xaositect, поняла, я сравню с тем что вы указали ранее.
Xaositect и paha, спасибо Вам большое :)