С-какое-то-там ЕГЭ (вычислить sin54*sin18 и подобные)

[ewert]

Детский такой вопрос. Вычислить $A=\sin54^{\circ}\cdot\sin18^{\circ}$.

Собственно, решение-то то простое.

$$A\cdot\cos18^{\circ}=\sin54^{\circ}\cdot\sin18^{\circ}\cdot\cos18^{\circ}={1\over2}\sin54^{\circ}\cdot\sin36^{\circ}={1\over4}(\cos18^{\circ}-\cos90^{\circ})={1\over4}\,\cos18\,,$$

откуда $A={1\over4}$.

А вопрос такой: а как заранее угадать, что там именно нолик выскочит?... какими общими соображениями руководствоваться?...

[meduza]

Наверное, в большинстве таких примеров просто некуда деваться, кроме как сводить всё к круглым числам. Ну а раз $90-54=36=2\cdot 18$, сразу вспоминаются формулы двойного угла, преобразований произведений в суммы и т. д.

[ewert]

Ну это понятно, что тыр-пыр. Хотелось бы понять, куда конкретно рекомендовать тыркаться-пыркаться детям в подобных случаях.

Для сравнения -- две соседних задачки из той же книжки.

1). $\cos20^{\circ}+\cos40^{\circ}+\cos60^{\circ}+\ldots+\cos180^{\circ}=?\ldots$

2). $\cos20^{\circ}\cdot\cos40^{\circ}\cdot\cos80^{\circ}=?\ldots$

Со вторым всё ясно. Ввиду явно намечаемой геометрической прогрессии напрашивается домножение на $\sin20^{\circ}$, после чего всё круто сворачивается, а там уж -- как повезёт (ну и везёт).

С первым -- маленько хуже, но, в общем, тоже довольно прозрачно. Напрашивается сворачивание слагаемых попарно, по краям. Что, правда, не приводит к особому успеху: и общий множитель не ахти, да и к-во слагаемых нечётно, что тоже не есть хорошо. Но зато, приобрёвши оба этих жизненных опыта, можно попытаться добавить к исходной сумме $\cos0^{\circ}$ и повторить всё заново, после чего всё становится просто замечательно.

Но это -- только если в исходной постановке задачи наблюдается некая тенденция.

А если не наблюдается, как в стартовом посте?... -- Куды тогда тыр-пырить?...

(я понимаю, конечно, что вопрос достаточно празден)

[Cave]

Можно переписать как $A = \cos 36^{\circ}\cdot\cos 72^{\circ}$, а дальше воспользоваться упомянутыми вами же приёмом: домножить на $\sin 36^{\circ}$.

[maikle]

Цитата:

куда конкретно рекомендовать тыркаться-пыркаться детям в подобных случаях.

Мы разбирали эти примеры в классе, там нет ничего сложного. Это ни разу не сложная задача))

[arqady]

Имхо, следующая (правда, очень известная) задача - хороший пример, как можно методично догадаться до чего-то и ... в итоге реализовать и добить.
Докажите, что

$$\tan1^{\circ}+\tan5^{\circ}+...+\tan177^{\circ}=45$$

(аргументы тангенсов образуют арифметическую прогрессию)

[RIP]

ewert в сообщении #316948 писал(а):

1). $\cos20^{\circ}+\cos40^{\circ}+\cos60^{\circ}+\ldots+\cos180^{\circ}=?\ldots$

не знаю, как у других, но у нас в школе учили суммировать синусы/косинусы от арифметических прогрессий домножением на синус полуразности.

[ewert]

Cave в сообщении #316958 писал(а):

Можно переписать как $A = \cos 36^{\circ}\cdot\cos 72^{\circ}$, а дальше воспользоваться упомянутыми вами же приёмом: домножить на $\sin 36^{\circ}$.

Да, это логично. Беда только в том, что плохо видно из-за излишней простоты условия (всего два сомножителя, вот было б хоть три...). Но спасибо.