Производная и интеграл

[Sasha2]

Вообще-то всегда производную посчитать легче чем неопределенный интеграл.
Интересно, а существуют ли такие функции, у которых интеграл считается легко, а производная со скрипом?

[Mitrius_Math]

Производная элементарной функции есть элементарная функция, а сложность её вычисления - это понятие относительное. Вычислите, например, производную такой функции: $f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-5)^5}$ (это достаточно просто, если вспомнить про логарифмирование). А вот первообразная элементарной функции далеко не всегда выражается в элементарных функциях, и дело тут даже не в сложности вычисления, а в принципиальной невозможности.

[meduza]

Sasha2 в сообщении #317039 писал(а):

а производная со скрипом?

Производную со скрипом считать трудно, ибо дифференцирование -- чисто "механическая" операция. Этому можно научить даже компьютер (в SICP есть пример такой программы на Scheme, она занимает меньше страницы). А символьное интегрирование в общем случае совсем нетривиальная задача.

[Cave]

$\frac 1 {x\ln x \ln\ln x \cdot\ldots\cdot \ln\ln\ldots\ln x}$.

[meduza]

Cave
Ну и здесь дифференцировать не столько сложно (надо лишь следовать простому определённому алгоритму), сколько долго и муторно. Компьютер для таких задач в самый раз.

А интегрируется и правда легко. Хотя (имхо) компьютеру такое сделать будет гораздо трудней производной. А для людей в самый раз -- хороший примерчик для задачников.

[Padawan]

Ага, а если там $\ln$ присутствует $n$ раз? :)

[Cave]

meduza
Ну я же не знаю, что автор имел в виду под "легко" и "со скрипом" :) Привёл очевидный пример, который хоть чем-то напоминает эту ситуацию.
Дифференцирование вообще не может быть сложным по указанной вами же причине: оно алгоритмизируемо.

[ewert]

да чего там алгоритмизовывать: прологарифмировал -- и дифференцируй себе, $\sim n^2$ раз