Транзитивное отношение, найти ошибку

[MikhailN]

Наткнулся в книжке Д. Кука и Г. Бейза <<Компьютерная математика>> на задачу 2 в упражнении 2.3:
Следующее утверждение ошибочно. Симметричное и транзитивное отношение на $S$ является также рефлексивным, так как $aRb$ и $bRa$ влекут $aRa$. Внимательно изучив определения найти ошибку.
Изучил определение, которое приводится в книжке: Пусть $\rho$ -- отношение на множестве $A$. Тогда:
а) $\rho$ рефлексивно, если $x \rho x$ для любого $x \in A$;
б) $\rho$ симметрично, если $x \rho y$ влечет $y \rho x$;
в) $\rho$ транзитивно, если $x \rho y$ и $y \rho z$ влечет $x \rho z$.
Где же ошибка? Ведь ничто не мешает положить в пункте в) $z=x$.
В книжке Grimaldi R. "Discrete and combinatorial mathematics: an applied introduction" эта же задача в приводится в главе 7 (под номером 13, и вместо $S$ там множество $A$). В качестве ответа приводится фраза: There may exist an element $a \in A $
such that for all $b \in B $ neither $(a, b)$ nor $(b, a) \in R$. Возможно существует элемент $a \in A $ такой, что для любого $b \in B $ ни $(a, b)$ ни $(b, a)$ не принадлежат $R$.
Что за множество $B $ и где же противоречие?

[Cave]

Если положить в пункте в) $z = x$, то получится утверждение: если $xRy$ и $yRx$, то $xRx$. Однако нет гарантии того, что существует хотя бы один элемент $y$, состоящий в отношении $R$ с $x$.
Примеров много: например, возьмём множество с отношением эквивалентности и добавим к нему элемент, не изменяя отношение. Тогда на новом множестве отношения эквивалентности нет, а пункты б) и в) остаются верными.

[MikhailN]

Cave в сообщении #315558 писал(а):

. Однако нет гарантии того, что существует хотя бы один элемент $y$, состоящий в отношении $R$ с $x$.

Пусть $(x, y) \in R$. Из свойства симметричности следует $(y, x) \in R$. Так как $(x, y), (y, x) \in R$, то из свойства транзитивности следует $(x, x) \in R$. Теперь разобрался, что рефлексивность из этого не следует. Но тогда получается, что для всех $(x, y) \in R$ должно выполняться $(x, x) \in R$.

[Xaositect]

MikhailN в сообщении #315721 писал(а):

Пусть $(x, y) \in R$.

Вот именно. А если такого $y$ нет - то и заключение $(x,x)\in R$ может быть неверным.

[MikhailN]

Вроде бы теперь разобрался. Последний вопрос на тему:
Если A = \{ 1, 2, 3, 4 \}, то будет ли транзитивным и симметричным отношение R = \{ (1{,}2), (2{,}1), (1{,}3), (3{,}1), (2{,}3), (3{,}2) \}? Из определения, приведенного выше, получается, что нет.
А R_1 = \{ (1{,}2), (2{,}1), (1{,}3), (3{,}1), (2{,}3), (3{,}2), (1{,}1), (2{,}2), (3{,}3) \} -- транзитивно и симметрично, но не рефлексивно.

[MikhailN]

Прогнал предыдущие примеры через GHCi. Все верно: $R$ -- симметрично, но не транзитивно и не рефлексивно; $R_1$ -- транзитивно и симметрично, но не рефлексивно. Благодарю всех, кто ответил.

[Профессор Снэйп]

Cave в сообщении #315558 писал(а):

Примеров много...

Например, пустое отношение на непустом множестве