Хотя и праздник, надо выполнять обещание.
Начнем с определения: Множество Жюлиа функции f, обозначаемое J(f), определяется как
Это означает, что необходима топология на соответствующем множестве
и компактификация (добавление элементов на бесконечности). Начнем с топологией. На
введем топологию
. Если рассмотреть
как прямое произведение и определить топологию произведения (предел диаграммы или проективный предел), то получим обычную Евклидову топологию. Однако как алгебраическая структура
является и прямой суммой (в абелевых категориях конечные прямые суммы совпадают (эквивалентны) с произведениями.
К тому же топология должна быть согласована с нормой поличисла
. Это (норма) в категорных терминах не выражается. К тому же норма в смысле анализа не определена. Даже для того, чтобы алгебраическая норма стала полунормой в смысле анализа необходимо брать
(
может принимать даже мнимые значения при четных
).
Тогда определена единственная топология, согласованная с полунормами
прямой суммой и диаграммами вложений
(индуктивный предел или копредела диаграммы). Базой окрестностей 0 в этой топологии являются множества, которые кроме 0 содержат точки с координатами
где в произведении берутся все ненулевые координаты.
За счет обрезания множеств
на проекциях, где некоторые координаты обращаются в 0 топология становится отделимой, правда только
. Все известные алгебраические топологии (алгебраические замыкания в универсальных алгебрах, в логике, в алгебраической геометрии, где все собственные замкнутые множества содержатся в конечном объединении гиперповерхностей и имеют меру ноль) не хаусдорфовы, а только
как и наша топология. Для некоторых целей этого достаточно.
Бесконечность можно ввести несколькими способами. Традиционная компактификация добавлением одной бесконечной точки или нескольких по одному для каждого светового конуса из
. При этом это на дальнейшее существенно не влияет, к тому же введение нескольких бесконечных точек целесообразно скорее для несколько другой топологии, учитывающей знаки
и разделяет конуса. Соответственно достаточно иметь с одной бесконечностью при компактификации.
Остальное продолжу завтра. Суть доказательство компактности множеств Жюлиа и Мандельброта в
.
Любая h аналитическая функция представляется в виде
Соответственно все фракталы в топологии прямого произведения являются прямыми произведениями фракталов по компонентно. Об этом я говорил ещё во время доклада Панчелюги примерно 1.5 г. назад. При изменении топологии на описанной выше вносятся некоторые изменения, связанные с устремлениями некоторых компонент к бесконечности при одновременном стремлении других к нулю. Поэтому необходимо изучить поведение последовательности, определенной функцией одной действительной переменной рекурентно
. Поведение таких последовательностей давно изучено. Находятся стационарные точки
(ими могут быть и
), которые не меняются, при начале с этих точек. Устойчивые (хотя бы с одной стороны) стационарные точки имеют некоторую область притяжения. Если
в стационарной точке, то она устойчивая и имеет область притяжения. Если
то такая стационарная точка не имеет области притяжения. Когда
как правило имеется устойчивость с одной стороны. Могут появится предельные циклы, являющиеся устойчивыми стационарными (хотя бы с одной стороны) точки для
m- ой итерации, дающие предельный цикл порядка m. Области притяжения могут часто имеют вид дополнений к Канторовым множествам. Из-за этого появляется фрактальность для множеств Жюлиа, Мандельброта.
Рассмотрим теперь конкретные функции
. Этот случай прост для исследования. Стационарные точки
. При
нет стационарных точек (кроме бесконечности). Точка
устойчиво суперэкспоненциально. Соответственно для компенцации этого за счет нормы другая стационарная точка должна иметь нулевую производную, т.е. эта точка нулевая. Точка 0 стационарна только если
. При
обе стационарные точки не устойчивы. Тем не менее при
точка попадая в интервал
останется в этом интервале навечно. Если
рано или поздно значение после некоторого количества итераций станет больше наибольшего (конечного) стационарного значения и далее субэкспоненциально стремится к бесконечности. Равенство
критическому значению только при
. За счет не хаусдорфовости предел не однозначен. Однако, за счет урезания хвостов по лучам при олределении окрестностей множество Мандельброта останется таким же, как и при Евклидовой топологии куб
. При переходе к координатам (используемыми вами) этот куб надо повернут соответствующим образом.
Множество Жюлиа надо рассмотреть при разных
. При
за счет особенностей топологии получается
. Если один из них, например
,
, то это множество имеет разный вид в зависимости от
. Если
, то при
любую точку с координатами
можно считать пределом итерации, а при
только бесконечная точка. В этом смысле множество Жюлиа есть симметричная кривая
. При
эта кривая не определена в интервале
. Далее всюду определена.
В случае
множество Жюлиа пустое при
, четыре точки при
. Две параллельные прямые, когда одно из них попадает в интервал
другое нет. Четыре интервала составляющих прямоугольник, когда все попадают в интервал.