Интегральные уравнения...?

[logach]

Помогите решить интегральное уравнение
Дано уравнение :
$\dfrac {u(y_0,t)}{2}=-\dfrac {1}{4\pi}\int\int (\dfrac{1}{|y_0-y|}\dfrac{\partial u(y,t_c)}{\partial n_y}+)(\dfrac{u(y,t_c)}{|y_0-y|^2}+\dfrac{1}{c|y_0-y|}\dfrac{\partial u(y,t_c)}{\partial t})\dfrac{\partial r}{\partial n_y} )dS$
где $t_c=t-\dfrac {|y_0-y|}{c}$, $c$ можно принять за 1
Необходимо преобразовать его в сумму (как по определению интеграла) но дело в том что в интеграле присутствует функция $u$... как быть ?

[Полосин]

В таком виде понять ничего нельзя. Сформулируйте исходную краевую задачу (а заодно исправьте уравнение).

[AKM]

Я слегка перепишу Вашу формулу, чтобы помочь Вам увидеть ошибки:
$\dfrac {u(y_0,t)}{2}=-\dfrac {1}{4\pi}\int\int \left(\dfrac{1}{|y_0-y|}\dfrac{\partial u(y,t_c)}{\partial n_y}{\color{red}+}\right)\left(\dfrac{u(y,t_c)}{|y_0-y|^2}+\dfrac{1}{c|y_0-y|}\dfrac{\partial u(y,t_c)}{\partial t}\right)\dfrac{\partial r}{\partial n_y} {\color{red})}dS$

[logach]

Я тогда совсем поправлю:
$\dfrac {u(y_0,t)}{2}=-\dfrac {1}{4\pi}\int\int \left\{\dfrac{1}{|y_0-y|}\dfrac{\partial u(y,t_c)}{\partial n_y} +\left[\dfrac{u(y,t_c)}{|y_0-y|^2}+\dfrac{1}{c|y_0-y|}\dfrac{\partial u(y,t_c)}{\partial t}\right]\dfrac{\partial r}{\partial n_y } \right\} dS$

Будем считать, что:
$u|_{t=0}=0$

а $t \in [0..n]$

Этот интеграл уже был выведен, мне нужно только представить его в виде суммы... и вот именно здесь я застрял. не могу сдвинуться с мертвой точки.

Я уже и литературу по методу граничных интегральных уравнений перерыл... пните кто-нибудь в нужное русло.

[Полосин]

Это пока еще не уравнение. Что здесь известно, а что - нет? Что такое $r$? Интеграл поверхностный? Правой части нет, стало быть, задача однородная? Существуют ли нетривиальные решения?
Повторяю: сформулируйте исходную краевую задачу. Сингулярные интегралы регуляризуются путем выделения и вычисления главной части с помощью свойств потенциалов простого слоя и двойного слоя и формул Грина для фундаментального решения. Ознакомьтесь с учебником "Уравнения математической физики" Тихонова и Самарского.