уровень значимости и мощность

[Neytrall]

Здравствуйте. Объясните, что от меня хотят в задаче.
Дано $X\sim exp(\theta)$
$H_0:\theta=1$
$H_1:\theta=2$
Критическая область(корявый перевод, но это та область, при которой говорят, что $H_0$ неверно):
1.$R_1=[0,1)$
2.$R_2=[1,\infty)$
3.$R_3=[ 0,\frac{1}{2}\bigcup 2,\infty)$
4.$R_4={x\in\mathbb{R}: x>0 , x\neq1}$
Просят найти уровень значимости и мощность.

Я не понимаю с чего тут начать, и зачем мне даны $R_{1:4}$

[Хорхе]

Это четыре варианта критической области. Собственно, Вам надо посчитать $P(\overline{R}_i|H_1)$ и $P({R_i}|H_2)$ для $i=1,2,3,4$.

[Neytrall]

Хорхе в сообщении #314718 писал(а):

Вам надо посчитать $P(\overline{R}_i|H_1)$ и $P({R_i}|H_2)$

то бишь
1.$P_{H_1}(X<1)$
2.$P_{H_1}(X>1)$
3.$P_{H_1}(X<0.5) +P_{H_2}(X>2)$
....???

[Хорхе]

Да нет, Вы слишком творчески проинтерпретировали мои слова.

1. $P_{H_1}(X<1)$ и $P_{H_2}(X\ge 1)$

и так далее.

[Neytrall]

меня путают ваши $H_1$ и $H_2$. Что из них что?

Я просматриваю свои записи и выходит, что
$\alpha=P_{H_0}(
мощность=$1-\beta=P_{H_1}=(
Где $-$H_1$ верно.
Это так?

-- Сб май 01, 2010 17:27:42 --

Где можно найти доказательство того, что
$\frac{f_{\theta_1}(x_1,\dots,x_n)}{f_{\theta_0}(x_1,\dots,x_n)}}$ функция $T(x)$-Sufficient statistic?

[Хорхе]

Тьху ты, $H_0$ и $H_1$, слиха. Вы все правильно поняли.

Последний вопрос не понял.

[Neytrall]

Когда дают $X_1...X_n\sim f_{\theta}$ говорят, что
$H_0:\theta=\theta_1$
$H_1:\theta=\theta_2$
просят найти $\alpha$
то используют лемму Neyman–Pearson (Вроде так это называется, судя по википедии).
А от меня требуют доказать, что
$\frac{f_{\theta_1}(x_1,\dots,x_n)}{f_{\theta_0}(x_1,\dots,x_n)}}$ функция $T(x)$.
То есть необязательно знать значения всех иксов, а достаточно знать лишь Sufficient statistic (סטטיסטי מספיק) (не знаю как на русском)

[Хорхе]

Достаточная статистика и лемма Неймана-Пирсона по-русски. Но вообще отношение правдоподобия не является достаточной статистикой. Оно является статистикой наиболее мощного критерия (критерия Неймана-Пирсона). Видимо, что-то lost in translation.

[Neytrall]

Допустим мне даны $X_1...X_n\sim f_{\theta}$.
С помощью леммы Неймана-Фишера можно найти достаточную статистику. Правильно?
Она будет функцией иксов. Часто это сумма или среднее...
Вот и просят доказать, что $\frac{f_{\theta_1}(x_1,\dots,x_n)}{f_{\theta_0}(x_1,\dots,x_n)}}$ зависит только от достаточной статистики....

я сам над этим голову уже дня 2 ломаю.

-- Сб май 01, 2010 19:14:05 --

Кстати в первом задании я не совсем понял как сделать
4.{$R_4={x\in\mathbb{R}: x>0 , x\neq1}$} разве это не просто{ $R_4={x\in\mathbb{R}: x>0$}? ведь одна точка не влияет в непрерывных функциях

[Хорхе]

Все же не могу понять задание. Надо доказать, что отношение правдоподобия зависит только от достаточной статистики? Так это непосредственно следует из определения достаточной статистики.

-- Сб май 01, 2010 21:26:12 --

Neytrall в сообщении #314775 писал(а):

4.{$R_4={x\in\mathbb{R}: x>0 , x\neq1}$} разве это не просто{ $R_4={x\in\mathbb{R}: x>0$}? ведь одна точка не влияет в непрерывных функциях

Слушайте, Вы не хотите в Киеве на мехмате поучиться? У нас так редко встречаются студенты, способные столь здраво рассуждать...

Ой, я забыл, что у Вас распределение показательное Тогда отношение правдоподобия, конечно же, будет достаточной статистикой.

[Neytrall]

Хорхе в сообщении #314787 писал(а):

Все же не могу понять задание. Надо доказать, что отношение правдоподобия зависит только от достаточной статистики? Так это непосредственно следует из определения достаточной статистики.

вот-вот...а нам сказали, что это сложно и мы должны попытаться это сделать...поэтому я и ищу, где тут собака зарыта...

Хорхе в сообщении #314787 писал(а):

Слушайте, Вы не хотите в Киеве на мехмате поучиться?

Мне нравится моё нынешнее местонахождение)

-- Сб май 01, 2010 19:32:19 --

Хорхе в сообщении #314787 писал(а):

Тогда отношение правдоподобия, конечно же, будет достаточной статистикой.

оно будет его функцией.

-- Сб май 01, 2010 19:36:07 --

Хорхе в сообщении #314787 писал(а):

распределение показательное

Что это значит?

[Хорхе]

Нет-нет, именно так: отношение правдоподобия -- достаточная статистика. Если угодно, можно еще сказать, что оно является функцией от любой другой достаточной статистики, но правду нельзя утаивать.