Многомерные расширения ТФКП

[Scholium]

Руст писал(а):

Как векторные пространства без топологии они эквивалентны. Однако метрика на $H_n$ есть
$ds^n=dx_1dx_2...dx_n$, которая задает другую норму и топологию. Притом последняя не то что Хаусдорфова, которому все привыкли, она даже не удовлетворяет самому слабому условию отделимости.
Там, где функция не определена, интегралы можно определить как главное значение. Обычные окружности, пересекая эти линии неопределенности перпендикулярно дают нулевое главное значение. Ветви гиперболы пересекают особые линии в бесконечности параллельно и дают нетривиальные вычеты.

Они изоморфны и как алгебры без топологии. Но если используется только алгебра «прямых сумм полей», то говорить о поличислах или гиперчислах не приходится. Все что остается для алгебры этих чисел так это только деление и умножение векторов, ну и быть может условия типа Коши-Римана для функций. Не исключено, что и в этом направлении будет найдено что-то, что можно отнести на «заслугу» поличисел, иначе мы просто имеем дело с классическими объединениями классических пространств, но с произвольно заданной топологией, в том числе неклассической, а это уже просто предмет неклассической топологии, не более. Другое дело неполупростые алгебры, типа параболических чисел $\mathbb{P}_2$. Они не сводятся к «прямым сумам полей», но могут быть их линейной оболочкой с привлечением независимых единиц, отличных от нейтральной. Например, $\mathbb{P}_2 = e \mathbb{R} + \varepsilon \mathbb{R}$, где $\varepsilon^2 = 0$, а $e$ - обычная (нейтральная) единица.

А «там, где функция не определена», ее можно вообще не определять при вычисления интегралов, так как изменение подинтегральной функции на множестве меры нуль, не меняет значение интеграла.

Пересекать подпространства делителей нуля (на множестве меры нуль) можно под любым углом, например квадратом, со сторонами параллельными осям координат в $\mathbb{H}_2$. Эффект будет тот же.

[Руст]

Цитата:

Могу предложить еще один вариант решения данной коллизии в Вашу пользу. Если с гиперболическими аналогами множеств Жюлиа на плоскости двойной перемнной все практически встало на свои места, то вот с гиперболическим аналогом множества Мандельброта, ситуация для нас остается туманной. Пока ясно, что оно также не столь тривиально на двойной плоскости, как его представляют другие исследователи этой проблемы (в статье есть ссылки на соответствующие работы, в которых гиперболическое множество Мандельброта выглядит как квадрат с главной диагональю между точками (-2;0) и (0,25;0). Если для Вас на плоскости двойной переменной все на столько очевидно, что является тривиальным, приведите, пожалуйста, прямо здесь на форуме как именно выглядит гиперболический аналог множества Мандельброта, составляющее естественную пару с теми гиперболическими множествами Жюлиа, что построены в нашей последней статье и которые для Вас не является сколь ни будь неожиданным или новым результатом. Если приведете, обязуюсь публично признать напрасными нападки на Вас и принести самые искренние извинения. Боюсь только, не увидеть ничего конкретного, а когда и если мы сами решим эту проблему, снова услыхать: "Изложение математически безграмотное, а результаты отсутствуют"..

Вообще то фракталы меня не интересуют кроме как с эстетической стороны. В вашей работе вы не разобрались с множеством Жюлиа. Дело в том, что из существования хвостов для каждой итерации еще не следует их существования в множестве Жюлиа.
Основная особенность построения таких фракталов $z_{n+1}=f(z_n,c)$, их множеств Жюлиа, Мандельброта заключается в том, что сходимость рассматривается в неотделимой топологии $H_n$, связанной с нормой, в то время как функция $f(z,c)$ не является непрерывной в этой топологии, она непрерывна в обычной Евклидовой топологии. При этом множество $|z|\ge |f(z,c)|$ не компактно в этой Евклидовой топологии. Если это так важно для вас, я завтра объясню вид множеств Жюлия и Мандельброта для рассмотенной вами функции.

-- Сб май 01, 2010 15:15:21 --

Цитата:

А «там, где функция не определена», ее можно вообще не определять при вычисления интегралов, так как изменение подинтегральной функции на множестве меры нуль, не меняет значение интеграла.

Пересекать подпространства делителей нуля (на множестве меры нуль) можно под любым углом, например квадратом, со сторонами параллельными осям координат в $\mathbb{H}_2$. Эффект будет тот же.

При приближении к линии, где норма знаменателя стремится к нулю интеграл расходится (как интеграл от 1/x) соответственно имеет значение только главная часть, которая зависит от того как к нему приближаешься. Когда к нему сходишься по касательной в бесконечности бесконечности от двух ветвь гиперболы сокращаются, но остается (вообще говоря) вычет. На Евклидовой $\epsilon$ окружности этот вычет для полюсов h аналитических всегда 0, но по гиперболам нет.

[Time]

Руст в сообщении #314693 писал(а):

Если это так важно для вас, я завтра объясню вид множеств Жюлия и Мандельброта для рассмотенной вами функции.

Вот это другой разговор! Только, пожалуйста, кроме объяснений дайте еще две три картинки. Именно на псевдоевклидовой плоскости (естественно, как обычно ее рисуют на евклидовой плоскости). Важность знать, как выглядит гиперболический аналог двумерного множества Мандельброта (если, конечно, это не будет снова тривиальный квадрат, о котором я писал выше) - огромная. С удовольствием гляну и на Ваш вариант гиперболических аналогов множеств Жюлиа для двух-трех произвольных значений $c$. Надеюсь и здесь увидать не тривиальные квадраты и прямоугольники, что получались у всех до нас. Буду с нетерпением ждать..

[Руст]

Цитата:

Приведите, пожалуйста, более серьезные аргументы, чем просто "тривиально", "слишком просто", "не выразительно" и т.п. Я же Вам привел пример, когда из на много более простых объектов (и тоже, кстати, коммутативных) под названием натуральные числа получается ой как много чего интересного.

Абелевы гоуппы, даже с бесконечным числом образующих, устроены достаточно просто и изучены основательно, не имеют не разрешимых проблем. Имеется монография Мишиной (кажется её звали Анной Сергеевной - она у нас вела семинары на первом курсе) на этот счет. Не абелевы группы, даже с конечным числом элементов, устроены достаточно сложно. Есть теоремы Новикова П.С. (отец геометра С.П.) и Адяна о принципиальной неразрешимости многих проблем в группах с конечным числом образующих и с конечным числом соотношений. Даже не разрешима (не существует единого алгоритма), получается при этом группа конечной или бесконечной. Не разрешима проблема тождества слов и т.д.

Цитата:

Ну вот. Вы снова выражаетесь крайне не строго. Это еще простительно мне. Я не математик.. Непрерывных симметрий в $H_n$ слишком много, что бы все они были представимы группой квадратных диагональных матриц.

Я пытаюсь настроиться на вашу терминологию, если не считаю её совсем не удачной. Так как мы ведем спор без фиксации терминологии, иногда мы под этим можем подразумевать разные вещи.

Руст в сообщении #314439 писал(а):

На самом деле там речь идёт о конформной группе $H_n(C)$ (насколько я помню), группа которой богаче.

Цитата:

Я читал мнение по данному поводу Германа Вейля, которого уважаю как выдающегося математика и у него нашел фразы, объясняющие происхождение ко- и контравариантных векторов и соответствующих компонент без таких загогулин. А если можно без них обойтись, значит, к этому и нужно стремиться.

Вообще то я считаю, что знание основ теории категорий (а так же логики, теории рекурсивных функций) очень важно и для физиков. Так или иначе все двойственности в математике (и даже в физике) связаны с двойственностью в теории категорий.

Цитата:

Для вывода об изотропии или анизотропии следует сравнивать НАПРАВЛЕНИЯ (лучи или единичные вектора), а не вектора, к тому же имеющие различный модуль (псевдонорму). Попробуйте сравнить таким же образом реальные части пары векторов ЕВКЛИДОВОЙ плоскости в ортонормированном базисе имеющих те же компоненты, что Ваши $a$ и $b$. Или на основании, что реальные части этих векторов различные Вы готовы сделаете вывод, что и евклидова плоскость неизотропна?

Тут думаю мы по разному понимаем понятие изотропии. Мне кажется вы понимаете это как возможность представления координат одного вектора как координаты другого (одинаковых норм) с помощью преобразований Лоренца, если они в одном световом конусе. Это означает одно транзитивность, который не имеет отношения к изотропии.
На мой взгляд изотропность означает по крайней мере два транзитивность, точнее любые два вектора с заданным "углом" могут быть переведены в любую другую пару с теми же длинами и углом между ними. Для квадратичных метрик этого достаточно, однако все квадратичные метрики изотропны (за исключением неравноправности временных и пространственных направлений как в псевдоевклидовом пространство $H_2$).

Цитата:

В таком случае есть надежда, что примете еще и третью топологию.

Нет третьей.

Цитата:

В плане конформных свойств, какое из двух трехмерных пространств сложнее устроено Бервальд-Моора или псевдоевклидово? Ответ, пожалуйста, обоснуйте.

Я уже говорил, БМ проще.

[Scholium]

По поводу статьи о «О форме аналогов множества Жюлиа на плоскости двойной переменной».

Несмотря на то, что я пока далек от подобной темы исследований, статья мне понравилась. Для меня она стимулирует интерес к этой области. Хотя многие вещи и непонятны, но думаю, если заняться построением и исследованием фракталов самостоятельно, то многое проясниться.

Если я правильно понял, то требуется построить множество точек вида $h_{n+1} = h_n^2 + const$ в пространстве $\mathbb{H}_2$, для каждой точки $h_0$, принадлежащей некоторой целочисленной решетке в $\mathbb{H}_2$ и для некоторого множества $n \in \mathbb{N}$. Если так, то тогда вопрос. А что делает модуль числа в формуле (2), если в исходной формуле о нем ни слова? Наверное, имеется в виду другая формула построения данного множества, вроде $h_{n+1} = h_n \bar{h_n} + const$? Я правильно понял?

Далее Вы получаете интересные картинки этих множеств и анализируете их свойства. Естественно сразу встает вопрос, а в чем специфика $\mathbb{H}_2$? Ведь все то же самое можно делать и в $\mathbb{R}^2$. Например, из соотношений $h = x e + y j,~~~~\bar{h} = x e - y j$ мы получаем, что $h = x (e_1 + e_2) + y (e_1 - e_2),~~~~\bar{h} = x (e_1 + e_2) - y (e_1 - e_2)$, где $e_1$ и $e_2$ - единицы $\mathbb{R}^2$, откуда $h = (x + y) e_1 + (x - y) e_2,~~~~\bar{h} = (x - y) e_1 + (x + y) e_2$. Отсюда следует, что если $r = (a,~b) \in \mathbb{R}^2$, то $\bar{r} = (b,~a)$ и $r \bar{r} = (ab,~ab)$ или $r \bar{r} = ab(e_1 + e_2) = ab e = ab$. Кстати, из формулы $ r \bar{r} = ab = const$ следует искомое семейство гипербол для $\mathbb{R}^2$. Таким образом, в $\mathbb{R}^2$ можно определить сопряженный к $r$ вектор $\bar{r}$ и модуль, квадрат которого равен произведению этих векторов. Тем самым, вместо пространства $\mathbb{H}_2$ мы можем использовать $\mathbb{R}^2$ с определенным в нем, таким образом, сопряженным вектором и его модулем и будем получать те же самые результаты для множества Жюлиа, с точностью до поворота на 45 градусов.

Но более интересен вопрос о выборе исходного итерационного соотношения, позволяющего строить различные фрактальные множества. Хотя, в этом направлении ведутся интенсивные работы, и я пока не вижу принципиальной разницы Ваших исследований от уже существующих. Вероятно, вопрос опять упрется в топологию, выбор которой для меня совершенно не тривиален. Если мы используем прямые произведения полей и топологию прямого произведения, то это мне понятно. Но как только мы начинаем манипуляции с другими вариантами топологий, то мне сразу все становится непонятным. Ибо это уже вопрос топологии, а не алгебры поличисел. Но тогда зачем делать акцент на поличислах? Давайте делать акцент на нестандартной топологии стандартных пространств. Другое дело неполупростые алгебры, типа $\mathbb{P}_2$, хотя Вы их рассматривать не желаете.

Тем не менее, сама идея фракталов на поличислах мне нравится. Только мне не хочется смешивать алгебру и топологию. Хотелось бы акцентироваться на чем-то одном, либо первом, либо втором.

Да, среди списка литературы Вашей статьи, я заметил интересную для меня книгу: «Фракталы и хаос в динамических системах» Р. Кроновера. Я последнее время не равнодушен к хаосу и уже думал над идеей применить стохастические методы к построению сложных фракталов. Так что, я уже скачал эту книгу и думаю, мне будет интересно ее почитать.

[Руст]

Хотя и праздник, надо выполнять обещание.
Начнем с определения: Множество Жюлиа функции f, обозначаемое J(f), определяется как

$$J(f)=\partial\{z:f^{(n)}(z)\to \infty, n\to \infty \}.$$

Это означает, что необходима топология на соответствующем множестве $X=H_n, f:X \to X$ и компактификация (добавление элементов на бесконечности). Начнем с топологией. На $H_1$ введем топологию $R=R^1$. Если рассмотреть $H_n$ как прямое произведение и определить топологию произведения (предел диаграммы или проективный предел), то получим обычную Евклидову топологию. Однако как алгебраическая структура $H_n$ является и прямой суммой (в абелевых категориях конечные прямые суммы совпадают (эквивалентны) с произведениями.
К тому же топология должна быть согласована с нормой поличисла $ds^n=dx_1...dx_n$. Это (норма) в категорных терминах не выражается. К тому же норма в смысле анализа не определена. Даже для того, чтобы алгебраическая норма стала полунормой в смысле анализа необходимо брать $|ds|$ ($ds$ может принимать даже мнимые значения при четных $n$).
Тогда определена единственная топология, согласованная с полунормами $|ds|$ прямой суммой и диаграммами вложений $H_i\to H_n, i<n$ (индуктивный предел или копредела диаграммы). Базой окрестностей 0 в этой топологии являются множества, которые кроме 0 содержат точки с координатами $|x_{i_1}...x_{i_m}|<\frac{1}{N}$ где в произведении берутся все ненулевые координаты.
За счет обрезания множеств $|x_1....x_n|<\frac{1}{N}$ на проекциях, где некоторые координаты обращаются в 0 топология становится отделимой, правда только $T_1$. Все известные алгебраические топологии (алгебраические замыкания в универсальных алгебрах, в логике, в алгебраической геометрии, где все собственные замкнутые множества содержатся в конечном объединении гиперповерхностей и имеют меру ноль) не хаусдорфовы, а только $T_1$ как и наша топология. Для некоторых целей этого достаточно.
Бесконечность можно ввести несколькими способами. Традиционная компактификация добавлением одной бесконечной точки или нескольких по одному для каждого светового конуса из $2^n$. При этом это на дальнейшее существенно не влияет, к тому же введение нескольких бесконечных точек целесообразно скорее для несколько другой топологии, учитывающей знаки $ds$ и разделяет конуса. Соответственно достаточно иметь с одной бесконечностью при компактификации.
Остальное продолжу завтра. Суть доказательство компактности множеств Жюлиа и Мандельброта в $H_n$.
Любая h аналитическая функция представляется в виде

$$f:x=x_1e_1+...+x_ne_n\to f_1(x_1)e_1+...+f_n(x_n)e_n$$

Соответственно все фракталы в топологии прямого произведения являются прямыми произведениями фракталов по компонентно. Об этом я говорил ещё во время доклада Панчелюги примерно 1.5 г. назад. При изменении топологии на описанной выше вносятся некоторые изменения, связанные с устремлениями некоторых компонент к бесконечности при одновременном стремлении других к нулю. Поэтому необходимо изучить поведение последовательности, определенной функцией одной действительной переменной рекурентно $y_{n+1}=f_i(y_n)$. Поведение таких последовательностей давно изучено. Находятся стационарные точки $y_{i*}=f_i(y_{i*})$ (ими могут быть и $+\infty, -\infty$), которые не меняются, при начале с этих точек. Устойчивые (хотя бы с одной стороны) стационарные точки имеют некоторую область притяжения. Если $|f '|<1$ в стационарной точке, то она устойчивая и имеет область притяжения. Если $|f '|>1$ то такая стационарная точка не имеет области притяжения. Когда $|f '|=1$ как правило имеется устойчивость с одной стороны. Могут появится предельные циклы, являющиеся устойчивыми стационарными (хотя бы с одной стороны) точки для $f_i^{(m)}$ m- ой итерации, дающие предельный цикл порядка m. Области притяжения могут часто имеют вид дополнений к Канторовым множествам. Из-за этого появляется фрактальность для множеств Жюлиа, Мандельброта.
Рассмотрим теперь конкретные функции $y_{n+1}=y_n^2+c$. Этот случай прост для исследования. Стационарные точки $y_*=\frac{1\pm \sqrt{1-4c}}{2}, f '_*=1\pm \sqrt{1-4c}$. При $c>\frac 14$ нет стационарных точек (кроме бесконечности). Точка $\infty$ устойчиво суперэкспоненциально. Соответственно для компенцации этого за счет нормы другая стационарная точка должна иметь нулевую производную, т.е. эта точка нулевая. Точка 0 стационарна только если $c=0$. При $c<-\frac 34$ обе стационарные точки не устойчивы. Тем не менее при $f(c)\le \frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$ точка попадая в интервал $c<y<\frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$ останется в этом интервале навечно. Если $f(c)>\frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$ рано или поздно значение после некоторого количества итераций станет больше наибольшего (конечного) стационарного значения и далее субэкспоненциально стремится к бесконечности. Равенство $f(c)$ критическому значению только при $c=-2$. За счет не хаусдорфовости предел не однозначен. Однако, за счет урезания хвостов по лучам при олределении окрестностей множество Мандельброта останется таким же, как и при Евклидовой топологии куб $-2\le c_i\le \frac 14, i=1,2,...,n$. При переходе к координатам (используемыми вами) этот куб надо повернут соответствующим образом.
Множество Жюлиа надо рассмотреть при разных $c=(c_1,c_2$. При $c_1=0=c_2$ за счет особенностей топологии получается $|y_1y_2|=1$. Если один из них, например $c_1=0$, $c_2\not =0$, то это множество имеет разный вид в зависимости от $c_2$. Если $c_2>\frac 14$, то при $|y_1<y_*(|y_2|)$ любую точку с координатами $(0,x_2), -\infty \le x_2\le \infty$ можно считать пределом итерации, а при $|y_1|>y_*(|y_2|)$ только бесконечная точка. В этом смысле множество Жюлиа есть симметричная кривая $|y_1|=y_*(|y_2|,c_2)$. При $-2<c_2<\frac 14$ эта кривая не определена в интервале $c_2<y_2<\frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$. Далее всюду определена.
В случае $c_1c_2\not =0$ множество Жюлиа пустое при $4c_1>1<4c_2$, четыре точки при $c_1<-2>c_2$. Две параллельные прямые, когда одно из них попадает в интервал $(-2,1/4)$ другое нет. Четыре интервала составляющих прямоугольник, когда все попадают в интервал.

[Time]

Так каковы итоговые картинки множеств Манделброта и Жюлиа на плоскости двойной переменной? Из Вашего текста я так понял, что первое - как я и предполагал оказывается квадратом с главной диагональю на вещественной оси между точками 1/4 и -2, а вторые - квадраты и прямоугольники. Это так?
Отдельный вопрос по форме границы множества Жюлиа для c=0. Тоже квадрат? Или тут исключение и все же границами являются гиперболы?

[Руст]

Time в сообщении #315242 писал(а):

Так каковы итоговые картинки множеств Манделброта и Жюлиа на плоскости двойной переменной? Из Вашего текста я так понял, что первое - как я и предполагал оказывается квадратом с главной диагональю на вещественной оси между точками 1/4 и -2, а вторые - квадраты и прямоугольники. Это так?
Отдельный вопрос по форме границы множества Жюлиа для c=0. Тоже квадрат? Или тут исключение и все же границами являются гиперболы?

Множество Мандельброта квадрат. Множество Жюлиа при $c_1=c_2=0$ при евклидовой топологии квадрат, а при рассмотренной выше гиперболы. Все случаи там рассмотрены в гиперболической топологии и разобраны. Когда $c_1c_2\not =0$ множества Жюлиа не зависят от топологии и являются или пустым множеством или 4 точки или две параллельные прямые или прямоугольник (четыре отрезка).

[Time]

Замечательно. В смысле, что вполне конкретно и понятно. Разрешите продолжу вопросы?

1. Вас не смущает факт, что при $c=0$ множество Жюлиа на двойной плоскости - гиперболы, а при малейшем отходе от нуля - точки, прямые или прямоугольники?

2. Вы знакомы с методом построения границ множеств Жюлиа на комплексной лоскости методом обратных итераций?

3. Если по второму пункту ответили да, то ответьте, пожалуйста, есть ли у Вас претензии к работоспособности данного метода на комплексной плоскости?

4. Если сравнивать метод обратных итераций с обычным итерационным методом, какой Вам представляется более содержательным по объему получаемой информации о структуре не только границы множества Жюлиа на комплексной плоскости, но и его внутренних аттракторов?

5. На каком именно этапе построений методом обратных итераций срабатывает топология евклидовой плоскости при построении множеств Жюлиа на комплексных числах?

6. Должен ли по Вашему мнению существовать аналогичный метод обратных итераций для построения множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной?

[Руст]

Цитата:

1. Вас не смущает факт, что при $с=0$ множество Жюлиа на двойной плоскости - гиперболы, а при малейшем отходе от нуля - точки, прямые или прямоугольники?

Вообще то в случае $y_{n+1}=y_n^2+c,c<-2$ я кажется ошибся, не пробовал на черновике. Обосновать можно только, что замкнутое ограниченное множество меры 0, т.е. за исключением такого множества итерация попадет в область притяжения бесконечности. Тут скорее всего получится наподобии канторова множества на сторонах прямоугольника.

Цитата:

2. Вы знакомы с методом построения границ множеств Жюлиа на комплексной лоскости методом обратных итераций?

Представляю что это такое.

Цитата:

3. Если по второму пункту ответили да, то ответьте, пожалуйста, есть ли у Вас претензии к работоспособности данного метода на комплексной плоскости?

Претензий нет. В этом случае по сути сводится к одномерным (на прямой) фракталам и можно решить многими способами. Однако, без аналитических методов вы не сможете доказать отсутствие хвостов для гиперболической топологии.

Цитата:

4. Если сравнивать метод обратных итераций с обычным итерационным методом, какой Вам представляется более содержательным по объему получаемой информации о структуре не только границы множества Жюлиа на комплексной плоскости, но и его внутренних аттракторов?

Любой метод итераций находит области притяжений увеличивая их при каждом шаге. Для вычислений эффективнее пользоваться обратными отображениями.

Цитата:

5. На каком именно этапе построений методом обратных итераций срабатывает топология евклидовой плоскости при построении множеств Жюлиа на комплексных числах?

Топология срабатывает независимо от метода и учитывая, что к бесконечности уход суперэкспоненциальный, он может компенсироваться только стремлением к стационарной точке, где производная равна нулю в случае гиперболической топологии, в евклидовой никак не компенсируется.

Цитата:

6. Должен ли по Вашему мнению существовать аналогичный метод обратных итераций для построения множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной?

Да. Только указанные особенности выявляются аналитическими соображениями и вычисления для этого случая чуть проще в прямую сторону.

[Time]

Цитата:

1. Вас не смущает факт, что при $c=0$ множество Жюлиа на двойной плоскости - гиперболы, а при малейшем отходе от нуля - точки, прямые или прямоугольники?

Извините, но Вы не ответили на первый вопрос, поэтому привожу его снова.

Руст в сообщении #315297 писал(а):

Цитата:
3. Если по второму пункту ответили да, то ответьте, пожалуйста, есть ли у Вас претензии к работоспособности данного метода на комплексной плоскости?

Претензий нет. В этом случае по сути сводится к одномерным (на прямой) фракталам и можно решить многими способами. Однако, без аналитических методов вы не сможете доказать отсутствие хвостов для гиперболической топологии.

Я спрашивал об обычных комплексных множествах Жюлиа. Не станете же Вы утверждать, что здесь этот метод приводит к одномерным (на прямой) фракталам?

А что касается сводимости или несводимости метода обратных итераций к одномерным фракаталам на двойной плоскости, то именно борьбе с этим заблуждением и была посвящена наша последняя статья. И мне представляется, что мы нашли вполне оригинальный метод как решения возникающих тут проблем, так и показали, как именно должны выглядеть множества Жюлиа на плоскости двойной переменной, а заодно наметились пути, как аналогичные фракталы можно строить в протранствах поличисел высших размерностей.

Возвращаясь еще раз к сводимости (несводимости) фракталов на двойных числах к одномерным фракталам, то в некотором смысле с этим можно согласиться, только при этом нужно обязательно подчеркнуть, что и фракталы на комплексной плоскости точно также сводятся к двум одномерным, только несколько более хитрым способом, который совсем не очевиден. По сути, это продолжение нашего спора о возможности замены аналитических функций комплексной переменной двумя аналитическими функциями от одной вещественной переменной каждая.

Цитата:

5. На каком именно этапе построений методом обратных итераций срабатывает топология евклидовой плоскости при построении множеств Жюлиа на комплексных числах?

На этот вопрос я также не получил удовлетворяющего меня ответа. Я понимаю, что топология и в этом методе присутствует. Я справшивал: на каком именно из этапов метода обратных итераций она созникает и в чем именно при этом проявляется? Это крайне важный вопрос, поэтому большая просьба не заменять его другими вопросами.

Руст в сообщении #315297 писал(а):

Да. Только указанные особенности выявляются аналитическими соображениями и вычисления для этого случая чуть проще в прямую сторону.

Это Вы решили, что особенности построения фракталов методом обратных итераций на двойной плоскости должны в обязательном порядке выявляться удобными Вам аналитическими методами вычисления. А нам с Панчелюгами оказался более удобен (и как показала практика - более результативен) иной метод выявления особенностей фракталльных множеств Жюлиа на двойной плоскости. Согласитесь, результат Вашего построения (обычные квадратики) и нашего (замысловатые множества точек с гиперболическими окрестностями у каждой) отличаются как земля и небо. Вы утверждаете, что Вы правы, потому что действовали в соответствии с неким узаконенным алгоритмом. Не спорю, что заложили в этот самый алгоритм, то и получили. Но получили то имеено что тривиальщину и отсутствие красоты. А мы заложили в построение ДРУГИЕ идеи и получили нетривиальные объекты, пичем не менее красивые, чем представляют из себя фракталы (вернее предфракталы) на комплексной плоскости. Именно этого мы и добивались. Если Вам наш результат не кажется ни красивым, ни и нтересным, пожалуйста, пользуйтесь на здоровье собственными точками, прямыми и прямоугольниками, мы же под предфрактальными множествами Жюлия на плоскости двойной переменной впредь станем понимать именно свои объекты, хотя бы на том основании, что они красивы и полностью гармонируют с аналогичными предфракталами на комплексной плоскости (чего у Вас и в помине нет).

[Руст]

Цитата:

1. Вас не смущает факт, что при $c=0$ множество Жюлиа на двойной плоскости - гиперболы, а при малейшем отходе от нуля - точки, прямые или прямоугольники?

Не смущает. Сама гипербола появилась за счет изменения топологии (на гиперболическую), когда появляется сходимость к точке даже в случае когда по одной координате есть расходимость, компенсируемая за счет более быстрой сходимости по другой координате. Если отходит мало только по одной координате останется кривая мало отличающееся от гиперболы. Если отходит мало по обеим координатам то прямоугольник, так как сходимости при расхождении по одной координате уже не будет. А две прямые или канторовы множества появляются уже при большом отходе от 0 $c_1<-2,c_2<-2$, а не при малом.

Цитата:

Я спрашивал об обычных комплексных множествах Жюлиа. Не станете же Вы утверждать, что здесь этот метод приводит к одномерным (на прямой) фракталам?

Не стану.

Цитата:

А что касается сводимости или несводимости метода обратных итераций к одномерным фракаталам на двойной плоскости, то именно борьбе с этим заблуждением и была посвящена наша последняя статья. И мне представляется, что мы нашли вполне оригинальный метод как решения возникающих тут проблем, так и показали, как именно должны выглядеть множества Жюлиа на плоскости двойной переменной, а заодно наметились пути, как аналогичные фракталы можно строить в протранствах поличисел высших размерностей.

Я не видел описания множеств Жюлиа, кроме того встречал упоминание об их хвостах (которых нет и я с самого начала говорил, что из-того, что они имеются для всех n ых предфракталов не следует, что они будут у фракталов.
Я вообщем описал топологию и вид фракталов и для многомерного случая. Даже в $H_n$ отличие от Евклидовой топологии не более существенно, так как расходимость по одной координате(суперэкспоненциальная) не компенсируется с простыми сходимостями (ехспоненциальными) по всем остальным. Для компенсации требуется наличие стационарной точки с нулевым производным. При этом сходимости по другим координатам не могут влиять на соотношение между быстрой сходимости и быстрой расходимости по двум выделенным координатам.

Цитата:

Возвращаясь еще раз к сводимости (несводимости) фракталов на двойных числах к одномерным фракталам, то в некотором смысле с этим можно согласиться, только при этом нужно обязательно подчеркнуть, что и фракталы на комплексной плоскости точно также сводятся к двум одномерным, только несколько более хитрым способом, который совсем не очевиден. По сути, это продолжение нашего спора о возможности замены аналитических функций комплексной переменной двумя аналитическими функциями от одной вещественной переменной каждая.

Сводимость к разбиениям связано с делителями нуля, точнее с разложимостью алгебры поличисел на прямую сумму (в прямой сумме алгебр всегда имеются делители нуля). На комплексной плоскости это не так. То, о чем вы говорите связано с дополнитетельной комплексификацией C, которое алгебру сделает $C+C$, т.е. с делителями нуля, куда вкладывается $H_2$, но только в мнимую (не существовавшую до дополнительной комплексификации) плоскость. А взгляд на фракталов со стороны исходной плоскости всегда будет существенно отличаться.

Цитата:

На этот вопрос я также не получил удовлетворяющего меня ответа. Я понимаю, что топология и в этом методе присутствует. Я справшивал: на каком именно из этапов метода обратных итераций она созникает и в чем именно при этом проявляется? Это крайне важный вопрос, поэтому большая просьба не заменять его другими вопросами.

Я уже говорил, что построение предфракталов как приближений к фракталам по сути не зависит от топологии.

[Time]

Руст в сообщении #315457 писал(а):

Не смущает. Сама гипербола появилась за счет изменения топологии (на гиперболическую), когда появляется сходимость к точке даже в случае когда по одной координате есть расходимость, компенсируемая за счет более быстрой сходимости по другой координате. Если отходит мало только по одной координате останется кривая мало отличающееся от гиперболы. Если отходит мало по обеим координатам то прямоугольник, так как сходимости при расхождении по одной координате уже не будет.

Вот именно, если отличаются на бесконечно малую величину от нуля обе компоненты константы в квадратичной формуле, то четыре гиперболы мгновенно превращаются в прямоугольник. Если Вас это нисколько не смущает - могу только развести руками. Для меня, в свое время, это был просто кричащий сигнал, что "не все впорядке в Датском королевстве" фракталов на двойной плоскости.

Кстати, у Вас снова чехарда с базисами. Вы сейчас компоненты константы $c$ в каком базисе обсуждали? Я так понял, что в изотропном, а давеча говорили, что предпочитаете канонический ортонормированный. Вы бы, на всякий случай, все же подчеркивали бы, в каком базисе что рассматривается..

Руст в сообщении #315457 писал(а):

Я не видел описания множеств Жюлиа, кроме того встречал упоминание об их хвостах (которых нет и я с самого начала говорил, что из-того, что они имеются для всех n ых предфракталов не следует, что они будут у фракталов.
Я вообщем описал топологию и вид фракталов и для многомерного случая. Даже в отличие от Евклидовой топологии не более существенно, так как расходимость по одной координате(суперэкспоненциальная) не компенсируется с простыми сходимостями (ехспоненциальными) по всем остальным. Для компенсации требуется наличие стационарной точки с нулевым производным. При этом сходимости по другим координатам не могут влиять на соотношение между быстрой сходимости и быстрой расходимости по двум выделенным координатам.

Вообще-то, все, что изображается на картинках даже для комплексного случая, в строгом смысле, не являестя фракталами, а оказывается именно предфракталами. Математически строгое описание самого фрактала как предела предфракталов вы может быть и сумеете осуществить, но изобразить, увы, никак. Мне же с Панчелюгой были и остаются интересными не невидимые образы идеальных фракталов, а вполне устраивают и предфракталы, тем более, что когда такие предфракталы методом обратных итераций строятся на комплексной плоскости, уже после нескольких десятков итераций они практически перестают изменяться от прибавления все новых и новых итераций (во всяком случае, если смотреть на них глобально).

Руст в сообщении #315457 писал(а):

Сводимость к разбиениям связано с делителями нуля, точнее с разложимостью алгебры поличисел на прямую сумму (в прямой сумме алгебр всегда имеются делители нуля). На комплексной плоскости это не так. То, о чем вы говорите связано с дополнитетельной комплексификацией C, которое алгебру сделает $C+C$ , т.е. с делителями нуля, куда вкладывается $C$, но только в мнимую (не существовавшую до дополнительной комплексификации) плоскость. А взгляд на фракталов со стороны исходной плоскости всегда будет существенно отличаться.

Не знаю как Вас, а меня необходимость дополнительной комплексификации комплексной плоскости до бикомплексной - совсем не смущает и не останавливает. Уж коли этот прием позволяет понимать аналитические функции комплексной переменной как разложимые на две аналитические функции от одной вещественной переменной каждая, меня этот прием вполне устраивает. Да и взгляду на фракталы (пусть будет предфракталы) такой прием мне не мешает совершенно. Я "вижу" четырехмерный фрактал (предфрактал) в пространстве $C+C$, а то что его сечения двумерной комплексной плоскостью $C$ или двумерной двойной плоскостью $H_2$ на первый взгляд сильно отличаются друг от друга - это не столько объективные отличия, сколько субъективный взгляд на нечто единое с двух разных концов. Помните притчу про слепых мудрецов и слона? Вот примерно это для меня здесь и происходит..

Руст в сообщении #315457 писал(а):

Я уже говорил, что построение предфракталов как приближений к фракталам по сути не зависит от топологии.

Уверен, что Вы сейчас не правы. Топология и при построении предфракталов никуда не делась, более того, она присутсвует на каждом шаге обратных итераций. Собственно, это и определяет "третью" топологию на двойной плоскости, которую Вы пока не хотите видеть..

[Руст]

Цитата:

Вот именно, если отличаются на бесконечно малую величину от нуля обе компоненты константы в квадратичной формуле, то четыре гиперболы мгновенно превращаются в прямоугольник.

Не слышали о точках бифуркаций? Когда множества определяются бесконечными итерациями без них дело не обходится.

[/quote]Кстати, у Вас снова чехарда с базисами. Вы сейчас компоненты константы $с$ в каком базисе обсуждали? [/quote]
Я всегда предпочитаю наиболее удобный, где алгебра разбивается в прямую сумму:
$1=e_1+...+e_n, e_ie_j=\deltf_i^je_i$.

Цитата:

Уверен, что Вы сейчас не правы. Топология и при построении предфракталов никуда не делась, более того, она присутсвует на каждой из обратных итераций. Неужели Вы этого не видите?

Я писал по сути. Небольшое отличие это аппроксимация областей сходимости предфракталами. Но сам фрактал не зависит от этих аппроксимаций, появляется некоторая зависимость от выбора топологии для определения куда эти предфракталы сходятся.

[Time]

Руст в сообщении #315480 писал(а):

Не слышали о точках бифуркаций? Когда множества определяются бесконечными итерациями без них дело не обходится.

О точках бифуркаций я, естественно, слышал и даже вполне представляю последствия наличия таковых на плоскости коэффициентов $c$ для квадратичной функции, являющейся "затравкой" при построении множеств Жюлиа. Однако, что бы таковой оказалась точка начала координат - не верю. У нас с Вами слишком разные ожидания о "правильном" виде и поведении предфракталов множеств Жюлиа на двойной плоскости для значений $c$ находящихся в начале координат, причем не являющихся делителями нуля. Посмотрите, как меняется вид предфракталов при таких значениях $c$, может тогда станет более понятно, что я имею ввиду.

Руст в сообщении #315480 писал(а):

Я всегда предпочитаю наиболее удобный, где алгебра разбивается в прямую сумму:

В таком случае, это я запутался. Когда прошлый раз понял Ваше пояснение как предпочтение работать в каноническом ортонормированном базисе, приводящем в случае двойных чисел к метрике в виде разности двух квадратов компонент. Кстати, не объясните, почему Вам именно такие "ортонормированные" базисы не нравятся? Физики, наоборот, как раз от таких стараются не отходить. Для них базисы из делителей нуля - нефизичны и неудобны..

Руст в сообщении #315480 писал(а):

Я писал по сути. Небольшое отличие это аппроксимация областей сходимости предфракталами. Но сам фрактал не зависит от этих аппроксимаций, появляется некоторая зависимость от выбора топологии для определения куда эти предфракталы сходятся.

Для практических целей, все равно, ведь пользуются не самими фракталами (в их, так сказать, абсолютно точном виде), а именно предфракталами. Это можно сравнить с практическим использованием иррациональных и трансцендентных чисел. Если нужно посчитать конкретное значение - используют, в частности, не точные значения Пи или $e$, а их приближенные значения, обрывая бесконечную дробь на том или ином шаге. Что мешает точно также относиться и к предфракталам?

Кроме того, Вы так и не уточнили своего странного утверждения на счет отсутствия топологии в построении предфракталов. Не расшифруете, что и как Вы под этим понимали? И что же тогда позволяет получать на плоскости комплексной и двойной переменных в качестве предфракталов на разных итерациях, сперва окружности и гиперболы, а потом заменяющие их эллиптические и гиперболические кривые? Как такое могло бы быть без метрики и топологии?