Ещё производные обратных тригонометрических функций.

[Vadim Shlovikov]

Рассмотрим производную обратной тригонометрической функции $y=\arcsin x.$ Известно, что производная обратной тригонометрической функции $y=\arcsin x$ -это $y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
Найдём производную обратной тригонометрической функции $y=\arcsin x$ при $\Delta x\to 0$ следующим образом:
$\Delta y=\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin x\\\sin\Delta y=\sin(\arcsin( x+\Delta x)-\arcsin x)\\\sin\Delta y=(\sin\arcsin(x+\Delta x))\cos\arcsin x-(\sin\arcsin x)\cos\arcsin(x+\Delta x)\\\sin\Delta y=(x+\Delta x)\cos\arcsin x-x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)\\\sin\Delta y=x\cdot\cos\arcsin x+\Delta x\cdot\cos\arcsin x-x\cdot\cos\arcsin x\\\sin\Delta y=(\cos\arcsin x)\cdot\Delta x,$
но $\sin\Delta y\approx\Delta y$ при $\Delta x\to 0,$ отсюда
$\Delta y=(\cos\arcsin x)\cdot\Delta x\\y'=\cos\arcsin x.$
Но $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\cos\arcsin x$ только при $x=0,$ а при остальных $x\in[-1;1]$ будет $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ne\cos\arcsin x.$
Где ошибка?

[paha]

а кто будет $\cos\arcsin(x+\Delta x)$ раскрывать?

[Vadim Shlovikov]

paha в сообщении #314376 писал(а):

а кто будет $\cos\arcsin(x+\Delta x)$ раскрывать?

В данном случае можно $\cos\arcsin(x+\Delta x)\approx\cos\arcsin x.$

[paha]

Vadim Shlovikov в сообщении #314379 писал(а):

В данном случае можно

нельзя -- не ленитесь, пишите все с о-символикой

можно как раз только при $x=0$

[Vadim Shlovikov]

paha в сообщении #314381 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #314379 писал(а):

В данном случае можно

нельзя -- не ленитесь, пишите все с о-символикой

можно как раз только при $x=0$

Вы предлагаете следующее:
$x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)=x\cdot\cos(y+\Delta y)=x\cdot((\cos y)\cos\Delta y-(\sin y)\sin\Delta y)=x\cdot(\cos y-(\sin y)\cdot\Delta y)=x\cdot(\sqrt{1-\sin^2y}-(\sin y)\cdot\Delta y)=x\cdot(\sqrt{1-x^2}-x\cdot\Delta y)=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\arcsin\Delta x=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\Delta x,$
то есть $x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\Delta x.$
Отсюда получается следующее:
$\sin\Delta y=x\cdot \cos\arcsin x+\Delta x\cdot\cos\arcsin x-x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)\\\sin\Delta y=x\cdot\cos\arcsin x+\Delta x\cdot\cos\arcsin x-x\cdot\sqrt{1-x^2}+x^2\cdot\Delta x\\\sin\Delta y=x\cdot\sqrt{1-\sin^2\arcsin x}+(\cos\arcsin x)\cdot\Delta x-x\cdot\sqrt{1-x^2}+x^2\cdot\Delta x\\\sin\Delta y=x\cdot\sqrt{1-x^2}+(\cos\arcsin x)\cdot\Delta x-x\cdot\sqrt{1-x^2}+x^2\cdot\Delta x\\\Delta y=(\cos\arcsin x+x^2)\cdot\Delta x\\y'=\cos\arcsin x+x^2.$
Допустим так, но тем не менее $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\cos\arcsin x+x^2$ не для всех $x\in[-1;1],$ то есть получено уравнение из сравнения выражений производных обратной тригонометрической функции $y=\arcsin x$, а не равенство выражений производных обратной тригонометрической функции $y=\arcsin x$ для всех $x\in[-1;1].$
Где ошибка?

[paha]

Vadim Shlovikov в сообщении #314426 писал(а):

Вы предлагаете следующее:
$x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)=x\cdot\cos(y+\Delta y)=x\cdot((\cos y)\cos\Delta y-(\sin y)\sin\Delta y)=x\cdot(\cos y-(\sin y)\cdot\Delta y)=x\cdot(\sqrt{1-\sin^2y}-(\sin y)\cdot\Delta y)=x\cdot(\sqrt{1-x^2}-x\cdot\Delta y)=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\arcsin\Delta x=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\Delta x,$
то есть $x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\Delta x.$

в переходе от третьей к четвертой строчке формулы оказалось, что $\Delta y=\arcsin\Delta x$, что неверно. Вы так и оставьте $x^2\Delta y$ и перенесите это выражение в левую часть, получится

$$ (1-x^2)\Delta y=(\cos\arcsin x)\Delta x, $$

что правильно

[Vadim Shlovikov]

paha в сообщении #314477 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #314426 писал(а):

Вы предлагаете следующее:
$x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)=x\cdot\cos(y+\Delta y)=x\cdot((\cos y)\cos\Delta y-(\sin y)\sin\Delta y)=x\cdot(\cos y-(\sin y)\cdot\Delta y)=x\cdot(\sqrt{1-\sin^2y}-(\sin y)\cdot\Delta y)=x\cdot(\sqrt{1-x^2}-x\cdot\Delta y)=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\arcsin\Delta x=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\Delta x,$
то есть $x\cdot\cos\arcsin(x+\Delta x)=x\cdot\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot\Delta x.$

в переходе от третьей к четвертой строчке формулы оказалось, что $\Delta y=\arcsin\Delta x$, что неверно. Вы так и оставьте $x^2\Delta y$ и перенесите это выражение в левую часть, получится

$$ (1-x^2)\Delta y=(\cos\arcsin x)\Delta x, $$

что правильно

Да, Вы опять правы. Получаем $y'=\frac{\cos\arcsin x}{1-x^2}=\frac{\sqrt{1-\sin^2\arcsin x}}{1-x^2}=\frac{\sqrt{1-\sin^2y}}{1-x^2}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
Всё сошлось.

[Vadim Shlovikov]

Итак, производную обратной тригонометрической функции $y=\arcsin x$ находим двумя способами.
Первый способ.
$y=\arcsin x.$
При $\Delta x\to 0$ получаем:
$\Delta y=\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin x\\\sin\Delta y=\sin(\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin x)\\\sin\Delta y=\sin\arcsin (x+\Delta x)\cos\arcsin x-\sin\arcsin x\cos\arcsin (x+\Delta x)\\\sin\Delta y=(x+\Delta x)\cos\arcsin x-x\cos\arcsin(x+\Delta x)\\\sin\Delta y=x\cos\arcsin x+\Delta x\cos\arcsin x-x\cos\arcsin(x+\Delta x) .$
Проведём следующее разложение:
$\cos\arcsin(x+\Delta x)=\cos(y+\Delta y)=\cos y\cos\Delta y-\sin y\sin\Delta y=\cos\arcsin x\cos\Delta y-\sin\arcsin x\sin\Delta y=\cos\arcsin x\cos\Delta y- x\sin\Delta y.$
Получаем:
$\sin\Delta y=x\cos\arcsin x+\Delta x\cdot\cos\arcsin x-x(\cos\arcsin x\cos\Delta y-x\sin\Delta y)\\\sin\Delta y=x\cos\arcsin x+\Delta x\cdot\cos\arcsin x-x\cos\arcsin x\cos\Delta y+x^2\cdot\sin\Delta y.$
Из первого замечательного предела, $\begin{cases}\sin\Delta y\approx\Delta y\\\cos\Delta y\approx1\end{cases}$ при $\Delta x\to 0.$
Отсюда получаем:
$\Delta y=x\cos\arcsin x+\Delta x\cdot\cos\arcsin x-x\cos\arcsin x+x^2\cdot\Delta y\\\Delta y=\Delta x\cdot\cos\arcsin x+x^2\Delta y\\\Delta y(1-x^2)=\Delta x\cdot\cos\arcsin x\\\Delta y=\frac{\cos\arcsin x}{1-x^2}\Delta x\\y'=\frac{\cos\arcsin x}{1-x^2}\\y'=\frac{\sqrt{1-\sin^2\arcsin x}}{1-x^2}\\y'=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\\y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} .$
Второй способ.
$y=\arcsin x\\\sin y=x\\\cos y dy=dx\\dy=\frac{dx}{\cos y}\\y'=\frac{1}{\cos y}\\y'=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}\\y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} .$