Суммы sin x+sin2x+...+sin nx, cos x+cos2x+...+cos nx

[Dan B-Yallay]

Нужна помощь с тождеством:

$ 1/2 + \cos \theta + \cos 2 \theta + \cos 3 \theta + ... + \cos n \theta = \frac {sin(n+1) \theta} {2 sin {\theta /2}}
и

$ \sin \theta + \sin 2 \theta + \sin 3 \theta + ... + \sin n \theta = \frac {\cos{\theta /2} - \cos (n+ 1/2) \theta} {2 sin{\theta /2}}

Пробовал следующее:

$ (1/2 + z + z^2 + ... + z^n)(1-z) = 1/2(1 +z) - z^{(n+1)}

то есть
$ (1/2 + z + z^2 + ... + z^n) = \frac {1/2(1 +z) +-z^{(n+1)}} {(1-z)} = \frac {1/2(1 +z) - z^{(n+1)}} {(1-z)} \frac {1 + \overline z} {1 + \overline z}

теперь когда беру отдельно вещественную часть и мнимую - получается что угодно, но не искомое равенство. Может просто оно неверно?

[незваный гость]

Умножьте на $\sin(\theta/2)$ и раскройте произведения триг. функций в сумму. В комплексных числах тоже самое — домножение на $z^{1/2}-z^{-1/2}$. И будет Вам счастье .

[Dan B-Yallay]

Спасибо за подсказку

[OZH]

незваный гость писал(а):

Это эмоция такая постоянная или вездесущая или что-то вроде подписи?

[незваный гость]

Off-topic: Это все три присущие мне виды вредности.

[Someone]

Если Вы хотели свести к геометрической прогрессии, следовало подставить $\cos k\theta=\frac 12\left(z^k+\frac 1{z^k}\right)$ и $\sin k\theta=\frac 1{2i}\left(z^k-\frac 1{z^k}\right)$, где $z=e^{i\theta}$.