Равномерная сходимость функционального ряда

[Ermanyasha]

Простите за написание вроде понятно.Необходимо исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд x/(x^2+n^2) ,для x от 0 до плюс бесконечности, заранее спасибо за любую помощь

[maxmatem]

Вот так $% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{x} {{x^2 + n^2 }}} \] % MathType!End!2!1! $
$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ x \in \left( {0; + \infty } \right) \] % MathType!End!2!1! $
ну а сами как думаете , с чего начать? Вы признак Вейерштрасса знаете?

[Ermanyasha]

Да,я знаю его,просто не могу подобрать ограничивающий ряд.

-- Вт апр 27, 2010 22:09:54 --

х принимает значения от 0 до бесконечности, при х меньше 1 можно ограничить рядом 1/n^2, только при бесконечности это не верно

-- Вт апр 27, 2010 22:15:14 --

Может быть данный ряд сходится равномерно на (0;1) , а при х>1 сходится условно?

[maxmatem]

рассмотрите такую функцию $% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ f_n (x) = \frac{x} {{x^2 + n^2 }} \] % MathType!End!2!1!$, потом возьмите производную от неё $% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \frac{{df_n (x)}} {{dx}} = ... \] % MathType!End!2!1! $
найдите максимум этой функции.Потом сравните $% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ f_n (x) \leqslant f_n (x_0 ) \] % MathType!End!2!1! $ где $x_{0}$-максимум
и вспомните признак Вейерштрасса

[Ermanyasha]

Зачем?это верно "Может быть данный ряд сходится равномерно на (0;1) , а при х>1 сходится условно?"?Таким способом следует доказывать условную сходимость при х>1?

-- Вт апр 27, 2010 22:31:30 --

Я так решала,получается ограничивающий ряд 1/2n, а он расходится

[maxmatem]

а с чего вы решили, что он сходится равномерно на $(0;1)$ ?

[Ermanyasha]

рассмотрела в качестве ограничивающего ряда 1/n^2

[maxmatem]

я тоже получил что $% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \frac{x} {{x^2 + n^2 }} \leqslant \frac{1} {{2n}} \] % MathType!End!2!1!$ значит ваш ответ верен!

[Ermanyasha]

а как доказать что при x>1 условная,а не равномерная сходимость?точно также можно не только 1 ограничить,а любым числом

-- Вт апр 27, 2010 23:33:17 --

ответ не верный

[paha]

Ermanyasha в сообщении #314071 писал(а):

условная,а не равномерная

по-видимому, Вы ошибочно считаете антонимом равномерности условность)

[Ermanyasha]

ой,ну да,антоним условности -абсолютная,но это не меняет сути

[RIP]

Пусть $N$ --- очень большое натуральное число. Оцените снизу сумму $\sum_{n=N+1}^{2N}\frac{x}{x^2+n^2}$ при $x=N$ тривиально (т.е. колво слагаемых на минимальное слагаемое).

(Оффтоп)

Конечно, можно здесь увидеть интегральную сумму Римана и найти предел при $N\to+\infty$, но здесь это не нужно.

[Ermanyasha]

Я не поняла,понимаю что видимо есть равномерная сходимость при любом числе N,но именно числе,хотя и стремящемся к бесконечности

-- Вт апр 27, 2010 23:45:33 --

а,вы предлагаете оценить остаток?с какой целью?

[RIP]

Чтобы доказать отсутствие равномерной сходимости.

[Ermanyasha]

а я не знаю как его оценить

-- Вт апр 27, 2010 23:50:08 --

и почему остаток только до 2N будет