Диффур

[shur]

Найти общее решение дифференциального уравнения

Как частное решение неоднородного искать - не представляю...(((

$yy''-y'^2=y'^2\ln y$

$y'=p=\dfrac{dy}{dx}$

$p'=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$

После замены уравнение принимает вид

$py\dfrac{dp}{dy}-p^2=y^2\ln y$ $(*)$

Рассмотрим два случая

1)Если $p=\dfrac{dy}{dx}=0$ => $y=const$

2) Если $p=\dfrac{dy}{dx} \ne 0$

Делим обе части $(*)$ на $p^2$

Получаем

$\dfrac{y}{p}\dfrac{dp}{dy}-\dfrac{y^2}{p^2}=1$ $(+)$

Решаем однородное уравнение $(+)$

$\dfrac{y}{p}\dfrac{dp}{dy}-\dfrac{y^2}{p^2}=0$

$\dfrac{dp}{dy}=\dfrac{y}{p}$

$pdp=ydy$

$\int pdp = \int ydy$

$\dfrac{p^2}{2}=\dfrac{y^2}{2}+2c^2$

$p^2=y^2+c^2$

$p=\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{y^2+c^2}$

$\dfrac{dy}{\sqrt{y^2+c^2}}=dx$

$\int\dfrac{dy}{\sqrt{y^2+c^2}}=\int dx$

$x=\dfrac{1}{2}\ln |y+\sqrt{y^2+c^2}|$

[ewert]

Во-первых, разделено неверно. Во-вторых, забудьте вообще про однородное/неоднородное (тем более, что Вы всё равно не помните, что эти слова означают). Звёздочка -- это уравнение Бернулли, так его и решайте.

[shur]

ewert, спасибо!

Получился ответ очень подозрительный....

$py\dfrac{dp}{dy}-p^2=y^2\ln y$

$p=uv$

$dp=udv+vdu$

$uvy\dfrac{udv+vdu}{dy}-u^2v^2=y^2\ln y$

$u^2vy\dfrac{dv}{dy}+uv^2y\dfrac{du}{dy}-u^2v^2=y^2\ln y$

$u^2v(y\dfrac{dv}{dy}-v)+yuv^2\dfrac{du}{dy}=y^2\ln y$

1) Выберем $v$ таким, что $y\dfrac{dv}{dy}-v=0$

$ydv-vdy=0$

$ydv=vdy$

$\dfrac{dv}{v}=\dfrac{dy}{y}$

$\int\dfrac{dv}{v}=\int\dfrac{dy}{y}$

$\ln v= \ln y + \ln c$

$v=c\cdot y$

2) Тогда $(*)$ примет вид

$u(c\cdot y)^2y\dfrac{du}{dy}=y^2\ln y$

$cy^3udu=\ln y dy$

$cudu=\dfrac{\ln y}{y}dy$

$\int cudu=\int \dfrac{\ln y}{y}dy=\int \ln y d (\ln y)$

$\dfrac{cu^2}{2}=\dfrac{\ln^2y}{2}+\dfrac{c_1}{2}$

$cu^2=\ln^2y+c_1$

$u=\sqrt{\dfrac{1}{c}(\ln^2y+c_1)}$

$p=\dfrac{dy}{dx}=uv=cy\sqrt{\dfrac{1}{c}(\ln^2y+c_1)}=c_3y\sqrt{\ln^2y+c_4}$

$dy=c_3y\sqrt{\ln^2y+c_4}dx$

$\dfrac{dy}{y\sqrt{\ln^2y+c_4}}=c_3dx$

$\int \dfrac{dy}{y\sqrt{\ln^2y+c_4}}=\int c_3dx$

$\int \dfrac{d(\ln y)}{\sqrt{\ln^2y+c_4}}=\ln |\ln y +\sqrt{\ln^2y+ c_4}|=c_3x-c_7$

$x=c_8-c_9\ln |\ln y +\sqrt{\ln^2y+ c_4}|$

[ИСН]

Переформулируйте через обратные гиперболические функции, смотреть же тошно.

[shur]

ИСН в сообщении #313841 писал(а):

Переформулируйте через обратные гиперболические функции, смотреть же тошно.

Ок, сейчас сделаю!

[paha]

shur в сообщении #313839 писал(а):

$x=c_8-c_9\ln |\ln y +\sqrt{\ln^2y+ c_4}|$

уравнение же второго порядка... почему три константы?

[shur]

Да, следовало оставить 2 константы) Когда я находил $v$, я забыл константу принять равной какому-то конкретному числу! Я исправил, убрал в оффтоп, чтобы не мешалось)

(Оффтоп)

С момента, когда нужно было выбрать $c$

$v=c\cdot y$

Пусть $c=1$

2) Тогда $(*)$ примет вид

$u(y)^2y\dfrac{du}{dy}=y^2\ln y$

$y^3udu=\ln y dy$

$udu=\dfrac{\ln y}{y}dy$

$\int udu=\int \dfrac{\ln y}{y}dy=\int \ln y d (\ln y)$

$\dfrac{u^2}{2}=\dfrac{\ln^2y}{2}+\dfrac{c_1}{2}$

$u^2=\ln^2y+c_1$

$u=\sqrt{\ln^2y+c_1}$

$p=\dfrac{dy}{dx}=uv=y\sqrt{(\ln^2y+c_1)}$

$dy=y\sqrt{\ln^2y+c_1}dx$

$\dfrac{dy}{y\sqrt{\ln^2y+c_1}}=dx$

Не понимаю как перейти к гиперболическим функциям, чтобы ответ смотрелся нормальным.

Если только так, но константа под корнем мешает

$\ln y=sh(z)$

[V.V.]

После замены все-таки $ypp'-p^2=p^2\ln y$, а дальше всё гораздо проще.

[shur]

V.V. в сообщении #313967 писал(а):

После замены все-таки $ypp'-p^2=p^2\ln y$, а дальше всё гораздо проще.

Ах да, спасибо! Только получается не проще((( Написал подробно, чтобы читать проще было

$ypp'-p^2=p^2\ln y$

1) $p=\dfrac{dy}{dx}=0$ => $y=const$

2) $p \ne 0$

$ypp'-p^2=p^2\ln y$ $|:p$

$yp'-p=p\ln y$

$p=uv$

$dp=udv+vdu$

$y\dfrac{udv+vdu}{dy}-uv=vu\ln y$

$y(u\dfrac{dv}{dy}+v\dfrac{du}{dy})-uv=vu\ln y$

$yu\dfrac{dv}{dy}+yv\dfrac{du}{dy}-uv-vu\ln y=0$

$yu\dfrac{dv}{dy}+yv\dfrac{du}{dy}-uv(1+lny)=0$

$u(y\dfrac{dv}{dy}-v(1+lny))+yv\dfrac{du}{dy}=0$ (+)

Выберем $v$ так, чтобы

$y\dfrac{dv}{dy}-v(1+lny)=0$

$y\dfrac{dv}{dy}=v(1+lny)$

$ydv=v(1+lny)dy$ $|:y$

$dv=\dfrac{v}{y}(1+lny)dy$ $|:v$

$\dfrac{dv}{v}=\dfrac{(1+lny)dy}{y}$

$\int \dfrac{dv}{v}=\int \dfrac{(1+lny)dy}{y}$

$\ln|v|=\int {(1+lny)d(1+\ln y)=\dfrac{(1+lny)^2}{2}+C_1$

Так мы $v$ выбираем произвольно, пусть $C_1=0$

$v=e^{\dfrac{(1+lny)^2}{2}}$

Тогда $(+)$ примет вид

$yv\dfrac{du}{dy}=ye^{\dfrac{(1+lny)^2}{2}}\dfrac{du}{dy}=0$

$y=0$ - это частный случай $1)$

Поэтому нас интересует случай, когда $\dfrac{du}{dy}=0$ => $u=C$

=> $p=\dfrac{dy}{dx}=uv=C\cdot e^{\dfrac{(1+lny)^2}{2}}$

$dy=C\cdot e^{\dfrac{(1+lny)^2}{2}}dx$

$e^{-\dfrac{(1+lny)^2}{2}}dy=Cdx$

$\int e^{-\dfrac{(1+lny)^2}{2}}dy=C\int dx=Cx+C_2$

Такой интеграл берется или нет? что-то не то я решил?

[Someone]

shur в сообщении #314003 писал(а):

Ах да, спасибо! Только получается не проще((( Написал подробно, чтобы читать проще было

$ypp'-p^2=p^2\ln y$
...

Дальше какой-то ужас идёт. А это - уравнение с разделяющимися переменными.

[shur]

Да, спасибо, с разделяющимися переменными ответ такой же)