Степенной ряд & Сумма единиц.

[math_best]

Найти интервал сходимости.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (x+5)^n}$

Вопрос в том, что получилось $\sum\limits_{n=1}^{\infty}1$ на одной из границ!

1) $R=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{3^n}:{\dfrac{1}{3^{n+1}}=3$

=> $|x+5|<3$ => $-3<x+5<3$

=> $-8<x<-2$

2) Проверим сходимость на левой границе $x=-8$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-8+5)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-3)^n = \sum\limits_{n=1}^(-1)^n$

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=1 \ne 0$ => ряд расходится

2) Проверим сходимость на правой границе $x=-2$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-2+5)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (3)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}1=?$

В последней строчке пропал индекс суммирования - поэтому неясно 1 или бесконечность получается

[paha]

а Вы суммируйте выражение

math_best в сообщении #313167 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (3)^n$

))))

-- Вс апр 25, 2010 14:12:48 --

или даже $\sum 1^n$... и индекс есть:^)

-- Вс апр 25, 2010 14:13:47 --

кстати, вот это

math_best в сообщении #313167 писал(а):

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=1 \ne 0$

неверно... хоть ряд и расходится

и вообще, это сумма геометрической прогрессии

[math_best]

Спасибо, paha

Цитата:

неверно... хоть ряд и расходится

и вообще, это сумма геометрической прогрессии

А почему неверно? Это же знакопеременный ряд, по признаку лейбница общий член ряда (не включая $(-1)^n$ должен стремиться к нулю...)

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n=\dfrac{1-(-1)^{\infty}}{1-(-1)}$

$(-1)^{\infty}$ непонятно чему равно!

[paha]

неверно вот это

math_best в сообщении #313167 писал(а):

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=1 $

предела нет у этой последовательности

[math_best]

paha в сообщении #313418 писал(а):

неверно вот это

math_best в сообщении #313167 писал(а):

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=1 $

предела нет у этой последовательности

Спасибо! То есть $a_n=1^n$ , а предела нет у такой последовательности?

[paha]

У Вас это написано про последовательность $a_n=(-1)^n$

math_best в сообщении #313167 писал(а):

2) Проверим сходимость на левой границе $x=-8$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-8+5)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-3)^n = \sum\limits_{n=1}^(-1)^n$

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=1 \ne 0$ => ряд расходится

у последовательности $a_n=1^n$ предел имеется:)

[math_best]

Цитата:

у последовательности $a_n=1^n$ предел имеется:)

Я окончательно запутался) И чему же он равен? Вы же опровергли что он равен единице или бесконечности!

[AD]

math_best, вот Вам задачка попроще.
_________________
1. Упростить выражение.

$1^n$

[ИСН]

Один студент © тоже часто путался в обозначениях. Чтобы не путаться, он решил использовать каждую букву только для какой-то одной цели. Скоро буквы кончились. Он стал использовать русские, потом перебрал греческий алфавит, потом иврит. Но всего этого не хватило даже до первой сессии. И вот как-то он встал перед кирпичной стеной, разбежался, и с диким криком...

[shur]

(Оффтоп)

о_О Упростить выражение $(-1)^n$ Ынтересно)

[Padawan]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #313655 писал(а):

Один студент © тоже часто путался в обозначениях. Чтобы не путаться, он решил использовать каждую букву только для какой-то одной цели. Скоро буквы кончились. Он стал использовать русские, потом перебрал греческий алфавит, потом иврит. Но всего этого не хватило даже до первой сессии. И вот как-то он встал перед кирпичной стеной, разбежался, и с диким криком...

Мне это знакомо, вечно думаю, какую букву выбрать.

[math_best]

Так $\lim\limits_{n\to \infty}1^n=1^{\infty}$ - это ведь неопределенность.

Можно, конечно отбросить степень, но это как-то безрассудно)

[paha]

(Оффтоп)

внемлите совету ИСН, убейтесь ап стену

[AD]

Не-не, не слушайте его, моему совету следуйте

-- Пн апр 26, 2010 21:40:53 --

math_best в сообщении #313684 писал(а):

Можно, конечно отбросить степень, но это как-то безрассудно)

Ну хорошо, ну если так не понятно, то вот вторая задачка.
Дано: $x=y$.
Доказать: $2x=2y$.

[math_best]

$1^n=\underbrace{1\cdot 1\cdot 1\cdot .... \cdot 1}_{n\text{раз}}=1(\text{при } n \ne \infty})$

(Оффтоп)

Что-то смахивает на стеб дальнейшее обсуждение