Помогите посчитать главные значения по Коши!

[avitro]

Здравствуйте, уважаемые!
Помогите пожалуйста посчитать значения следующих функций и их первой и второй производных по

$$z$$

в смысле главного значения по Коши в точке

$$z=0$$

:

$$F(z)=\int_{-h}^{h} 1/(t-z) dt$$

и

$$G(z)=\int_{-h}^{h} \sqrt{h-t}/(t-z) dt$$

.

Тоже для функции

$$H(z)=\int_{t_B}^{t_A} 1/(t-z) dt$$

, где

$$t_B=R$$

, а

$$t_A=R(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$$

, то есть интеграл берется по дуге окружности; главные значения в отличие от предыдущих нужно посчитать в точке

$$z=R(\cos(\theta/2)+i\sin(\theta/2)$$

Спасибо!

[avitro]

Почитал соседние темы - такие все умные люди.
Неужели никто не в состоянии помочь?

[Аурелиано Буэндиа]

avitro писал(а):

Помогите пожалуйста посчитать значения следующих функций и их первой и второй производных по

$$z$$

в смысле главного значения по Коши в точке

$$z=0$$

:

$$F(z)=\int_{-h}^{h} 1/(t-z) dt$$

и

$$G(z)=\int_{-h}^{h} \sqrt{h-t}/(t-z) dt$$

.

Попробуйте вычислить главное значение интеграла по формуле

$$ \mathscr{P}\int_{-h}^h \frac{1}{t-z}dt = \int_{-h}^{z-\epsilon} \frac{1}{t-z}dt + \int_{z+\epsilon}^{h} \frac{1}{t-z}dt, \ \ \epsilon>0, $$

а потом перейти к пределу $\epsilon \to 0$. Интегралы простые и все должно получиться. После вычисления можно продифференцировать по $z$, а потом подставить $z=0$.