Найти сумму числового ряда.

[lazydan]

Помогите пожалуйста найти сумму числового ряда:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac 6 {n^2+n-2}}$
$a_n ={\frac 6 {n^2+n-2}}={\frac 6 {(n-1)(n+2)}}={\frac A {(n-1)}}+{\frac B{(n+2)}}={\frac {A(n+2)+B(n-1)} {(n-1)(n+2)}}$
$a_n={\frac {-2}{(n-1)}}+{\frac 2{(n+2)}}$=$2({\frac 1{(n-1)}}-{\frac 1{(n+2)}})$

Дальше нужно найти $S_n$ и вот с этим у меня проблемы((..


И вот еще один ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac {3n-2} {(n+2)(n+1)n}}$ тут я вообще не могу понять что делать((

Заранее спасибо! :)

[ewert]

lazydan в сообщении #310892 писал(а):

Дальше нужно найти $S_n$ и вот с этим у меня проблемы((..

Запишите сумму по $n$ от $1$ до $M$ как разность двух сумм. Все члены сократятся, кроме нескольких в начале и нескольких в конце. Последние стремятся к нулю при $M$, уходящем на бесконечность, а первые и дадут результат.

(и, кстати, сильно сомнительно, чтоб в этом условии суммирование начиналось с единицы)

lazydan в сообщении #310892 писал(а):

И вот еще один ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac {3n-2} {(n+2)(n+1)n}}$ тут я вообще не могу понять что делать((

Ровно то же самое. Тут принципиально только то, что корни знаменателя целочисленные и числители в разложении на простейшие в сумме дают ноль. А иначе и быть не может, если ряд сходится (и, следовательно, степень числителя как минимум на 2 меньше степени знаменателя).

[lazydan]

ewert в сообщении #310898 писал(а):

lazydan в сообщении #310892 писал(а):

Дальше нужно найти $S_n$ и вот с этим у меня проблемы((..

Запишите сумму по $n$ от $1$ до $M$ как разность двух сумм. Все члены сократятся, кроме нескольких в начале и нескольких в конце. Последние стремятся к нулю при $M$, уходящем на бесконечность, а первые и дадут результат.

(и, кстати, сильно сомнительно, чтоб в этом условии суммирование начиналось с единицы)

что-то оно у меня не сокращается ничего((
и еще вопрос, насколько я понимаю, нужно подставлять вместо $n$, числа 1,2,3… и до скольки нужно подставлять эти числа?

[ewert]

lazydan в сообщении #310913 писал(а):

насколько я понимаю, нужно подставлять вместо $n$, числа 1,2,3… и до скольки нужно подставлять эти числа?

Ни до скольки. Ещё раз:

ewert в сообщении #310898 писал(а):

Запишите сумму по $n$ от $1$ до $M$ как разность двух сумм.

Запишите. У Вас должно получиться выражение вида $\sum\limits_{n=1}^M\ldots-\sum\limits_{n=1}^M\ldots$. Потом сделайте в одной из сумм замену переменной $n=k+\ldots$, чтобы выражения под знаками сумм стали одинаковыми (а пределы суммирования -- разными). И сокращайте.

[lazydan]

вот так что ли?
$S_n=2[({\frac 1 0}-{\frac 1 3})+(1-{\frac 1 4})+({\frac 1 2}-{\frac 1 5})+({\frac 1 3}-{\frac 1 6})+…+{\frac 1 {n-1}}-{\frac 1 {n+2}}]$

[ewert]

Не так. Хорошо, вот как надо решать эту задачу (а вторую решите самостоятельно по аналогии).

$\sum\limits_{n=2}^M\dfrac{6}{n^2+n-2}=\sum\limits_{n=2}^M\dfrac{2}{n-1}\;-\;\sum\limits_{n=2}^M\dfrac{2}{n+2}=\Big[n-1=k+2\Big]=$

$=\sum\limits_{k=-1}^{M-3}\dfrac{2}{k+2}\;-\;\sum\limits_{n=2}^M\dfrac{2}{n+2}=\sum\limits_{k=-1}^{M-3}\dfrac{2}{k+2}\;-\;\sum\limits_{n=2}^M\dfrac{2}{n+2}=\sum\limits_{n=-1}^{M-3}\dfrac{2}{n+2}\;-\;\sum\limits_{n=2}^M\dfrac{2}{n+2}=$

$=\dfrac{2}{1}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{M}-\dfrac{2}{M+1}-\dfrac{2}{M+2}\ \ \mathop{\longrightarrow}\limits_{M\to\infty}\ \ \dfrac{2}{1}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{3}$.