метод множителей Лагранжа

[Tata12]

Методом множителей Лагранжа решить нелинейную задачу на условный экстремум
$f(x)=(x+1,5)^2+(y+1)^2$ -> min,(max)
при ограничении $x^2+y^2=5$
Составила функцию Лагранжа$L(x,y,a)=(x+1,5)^2+(y+1)^2+a(x^2+y^2-5)$
Нашла частные производные по dx,dy,da
Приравняла их к нулю и получила систему:
2х+3+2а=0
2у+2+2а=0
$x^2+y^2-5=0$
Как дальше?

[cyb12]

Составьте функцию Лагранжа:

$$L(x,y,\lambda)=(x+1.5)^2+(y+1)^2+\lambda(x^2+y^2-5).$$

Необходимое условие экстремума:

$$L'_x=L'_y=L'_\lambda=0$$

[Tata12]

cyb12 в сообщении #310581 писал(а):

Составьте функцию Лагранжа:

$$L(x,y,\lambda)=(x+1.5)^2+(y+1)^2+\lambda(x^2+y^2-5).$$

Необходимое условие экстремума:

$$L'_x=L'_y=L'_\lambda=0$$

Составила, гляньте, пожалуйста . Только у меня вместо "лямбды" буква а

[cyb12]

Tata12 в сообщении #310560 писал(а):

Приравняла их к нулю и получила систему:
2х+3+2а=0
2у+2+2а=0
$x^2+y^2-5=0$
Как дальше?

Из первых двух уравнений $2x+1=2y$. Есть третье уравнение :$x^2+y^2-5=0$. Найдите $x$ и $y$.

[Tata12]

Из первых двух уравнений $2x+1=2y$. Есть третье уравнение :$x^2+y^2-5=0$. Найдите $x$ и $y$.[/quote]
Получила квадратное уравнение $8x^2+4x-19=0$, дискриминант равен 624, очень "некрасивые корни получаются "
Нашла ошибку в системе, "потеряла" х и у.
Правильно будет так:
2х+3+2ах=0
2у+2+2ау=0
$x^2=y^2-5=0$

-- Сб апр 17, 2010 17:33:07 --

[Alexey1]

Tata12 в сообщении #310560 писал(а):

Приравняла их к нулю и получила систему:
2х+3+2а=0
2у+2+2а=0
$x^2+y^2-5=0$
Как дальше?

Вы неправильно нашли производные функции Лагранжа по $x$ и $y$.

[Tata12]

[/quote] Вы неправильно нашли производные функции Лагранжа по $x$ и $y$.[/quote]
В предыдущем сообщении я нашла ошибку.
Правильно будет так:
2х+3+2ах=0
2у+2+2ау=0
$x^2=y^2-5=0$?

[cyb12]

Раз система такая, то выразите из первых двух уравнений $a$, как это обычно делается, и приравняйте. Получите еще одно уравнение, связывающее $x$ и $y$.

Последнее уравнение $x^2+y^2=5$

[Alexey1]

Tata12 в сообщении #310602 писал(а):

Правильно будет так:
2х+3+2ах=0
2у+2+2ау=0
$x^2=y^2-5=0$?

Первые два уравнения правильные, а второе нет. Зечем там к нулю приравнивать (вместо первого знака равно должен быть минус).

[Tata12]

cyb12 в сообщении #310603 писал(а):

Раз система такая, то выразите из первых двух уравнений $a$, как это обычно делается, и приравняйте. Получите еще одно уравнение, связывающее $x$ и $y$.

Последнее уравнение $x^2+y^2=5$

Да, конечно, в третьем уравнении "+", а не "="
Выразила 2а из первого и второго уравнений, приравняла, получила 2х=3у, подставила в третье, корни опять "не айс"

[Tata12]

Нашла х1 и х2, у1 и у2. Теперь у меня есть две точки, в которых, по всей видимости условный экстремум. А как определить , где max, min?

[Alexey1]

Подставьте найденные значения в функцию и посмотрите.

[Tata12]

А вторую производную искать не нужно?

[Alexey1]

Tata12 в сообщении #310642 писал(а):

А вторую производную искать не нужно?

Ну формально вообще-то надо проверить достаточные условия минимума и максимума. Хотя если после подстановки решений в функцию получаются неравные значения, то одно минимум а другое максимум.

[Tata12]

Подскажите, где можно внятный пример посмотреть, уже 4 часа ищу
Как определить, где минимум, а где максимум, ведь если подставить в функцию и посчитать это не решит мою проблему. Помнится мне, что на интервалах такое рассматривается... Может какой учебник есть с таким заданием?