Честная игра № 2

[Хорхе]

Навеяно соседней темой, возможно, боян.

Двое играют в такую игру. Дима дает Вове рубль. Вова берет колоду из 52 карт и поочередно вынимает по одной карте из колоды и кладет на стол лицом вверх. В любой момент Дима может сказать "стоп" и, если следующая карта в колоде красная, получить от Вовы два рубля (в противном случае ничего).

Вопрос: честная ли это игра и как Дима может максимизировать свой ожидаемый выигрыш?

[age]

Игра нечестная. Причем с точностью до абсолютизма. Дима постоянно считает, сколько вытащено красных и сколько черных (держит в уме) в результате, он практически всегда знает, в какую сторону идет выигрыш. Т.е. если из 54 карт вытащено 40, из них 26 красных, значит, осталась одна красная и 13 черных. Играть дальше смысла нет и он отказывается. Если же наоборот. То выигрыш - 100%. Таким образом, дождавшись определенного момента в игре Дима всегда с точностью наверняка может знать следующая карта будет черная или красная.

[Хорхе]

Дима вначале заплатил рубль, не забывайте б этом.

Забыл сказать, что колода хорошо перемешана.

[venco]

age в сообщении #310068 писал(а):

Игра нечестная. Причем с точностью до абсолютизма. Дима постоянно считает, сколько вытащено красных и сколько черных (держит в уме) в результате, он практически всегда знает, в какую сторону идет выигрыш. Т.е. если из 54 карт вытащено 40, из них 26 красных, значит, осталась одна красная и 13 черных. Играть дальше смысла нет и он отказывается.

Т.е. гарантированно потерять рубль?

Цитата:

Если же наоборот. То выигрыш - 100%. Таким образом, дождавшись определенного момента в игре Дима всегда с точностью наверняка может знать следующая карта будет черная или красная.

Вопрос в том, с какой вероятностью возникает такая ситуация, и насколько она повлияет на ожидаемый выигрыш.

[age]

Да, я понял, рубль за участие я пропустил.
Тогда все исходы: как красные, так и черные окончания, когда он может гарантированно сказать, что карта того или иного цвета будет следующей - равновероятны.
Поэтому как бы он ни угадывал - ровно в половине случаев будет красная карта (угадал) - в другой половине - черная (не угадал).
Т.е. в половине случаев он получит 2 рубля. А в половине - потеряет рубль.
Т.е. сколько денег у него было, столько и останется в конце. Бесполезная трата времени.

[venco]

age в сообщении #310101 писал(а):

Да, я понял, рубль за участие я пропустил.
Тогда все исходы: как красные, так и черные окончания, когда он может гарантированно сказать, что карта того или иного цвета будет следующей - равновероятны.

А если учесть промежуточные варианты, когда красных осталось больше чем чёрных?
Нам ведь не нужна 100% вероятность, а только больше половины.

(не смотреть)

Но вы угадали, действительно оптимальная стратегия (как впрочем и неоптимальная) дадут вероятность 1/2. Это можно доказать по индукции.

[neo66]

Рассмотрим более общую ситуацию: пусть у нас есть $m$ красных и $n$ черных карт.

Докажем, что как бы Дима не играл, вероятность выигрыша у него будет не выше, чем $\frac m {m+n}$.
Доказывать будем по индукции по количеству карт.

1. Если у нас есть колода из одной карты, то это очевидно. (база индукции)
2. Если наша колода из $(n+m)$ карт и игра остановлена сразу, то вероятность равна $\frac m {m+n}$.
Если открыта одна карта, то вероятность, по предположению индукции, не выше, чем
$\frac n {m+n} \frac m {m+n-1} + \frac m {m+n} \frac {m-1} {m+n-1} = \frac m {m+n}$. Все доказано.

То есть, исходная игра честная и Дима должен сразу остановить игру, а то хуже будет, во всяком случае, не лучше.

[venco]

neo66 в сообщении #310363 писал(а):

Рассмотрим более общую ситуацию: пусть у нас есть $m$ красных и $n$ черных карт.
...

Только замените везде "не выше, чем" на "равна", и будет совсем правильно.

[neo66]

И то правда.

[sergey1]

Цитата:

Дима должен сразу остановить игру, а то хуже будет, во всяком случае, не лучше.

Не должен. Все равно на каком шаге говорить стоп, вероятность выигрыша 0,5.

[Хорхе]

sergey1 в сообщении #310477 писал(а):

Не должен. Все равно на каком шаге говорить стоп, вероятность выигрыша 0,5.

Просвещенные джедаи называют это теоремой Дуба про произвольный выбор: в какой момент ни останови мартингал, во рту слаще не станет.