Совмещение фигур в трехмерном пространстве

[Sasha2]

Вот для совмещения двух равных симметричных ПЛОСКИХ фигур приходится выполнять такое движение, которое выводит одну из этих фигур из плоскости, в которой эта фигура лежит.
Хотелось бы узнать, а вот есть ли в ТРЕХМЕРНОМ пространстве такие две равные фигуры, для совмещения которых также нужно выходить их этого пространства. То есть есть ли в трехмерии такие две равные фигуры, которые невозможно совместить между собой, оставаясь только в трехмерии?

[ИСН]

Правая рука, левая рука.

[Sasha2]

С руками пример то неудачный. Приложите ладони друг к другу и убедитесь, что совмещение возможно.
Интересует то вообщем то следующее: можно ли так хитро сконструировать и расположить равные трехмерные объекты, чтобы их совмещение оказалось в трехмерии невозможно и потребовало бы выход в 4-х или более мерие.

[ewert]

Вы бы всё-таки сформулировали аккуратнее. Что такое "движения"?...

Обычно под этим понимаются переносы, повороты и отражения; тогда совмещение возможно всегда -- просто по определению "равенства" фигур.

Если же отражения запретить, т.е. если понимать "движение" в житейском смысле, то да, не всегда. В пространстве любой размерности асимметричные фигуры "совместимы" тогда и только тогда, когда детерминант преобразования, которым одна фигура получена из другой, равен единице, а не минус единице.

[ИСН]

Шикарно, просто шикарно. "Совмещение возможно." Нет D- и L-сахаров и там аминокислот, нет всей биохимии и самой жизни, нет термина "хиральный", происходящего от греч...
...ой, да идите в холмы, покрытые лесом.

[Sasha2]

Да ну не в отражении то дело, а дело в выходе из исходного подпространства для того, чтобы добиться совмещения.
Совместимы то они совместимы, с этим никто и не спорит, но вот для того, чтобы добиться такого совмещения в двумерии (в общем случае требуется такое движение, при котором промежуточные положения ДВУХ РАВНЫХ И СОВМЕЩАЕМЫХ МЕЖДУ СОБОЙ ФИГУР оказываются вне плоскости, в которой они были изначально) нам потребовалось выйти за границы плоскости. Так ли это в пространстве? Пока из Ваших ответов непонятно.

To ИСН
Ну тогда мы видимо чего то разное имеем в виду.


Просто хотелось бы выяснить обладает ли двумерное пространство чем-то исключительно особым.
Ведь например в одномерии такого нет, там симметричность просто неприменима (в смысле совмещение симметричных фигур можно достись параллельным переносом), а трехмерии и выше (судя по утверждениям некоторых уважаемых форумчан) совмещение всегда возможно. И только двумерие как-то особняком стоит.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #310153 писал(а):

в общем случае требуется такое движение,

Так и непонятно, что в точности Вы подразумеваете под "движениями". Какие конкретно преобразования?

Или хотя бы приведите конкретный пример (на плоскости) двух равных, но не совместимых фигур. Конкретный.

Пока что трудно понять, о чём идёт речь.

[Sasha2]

Да Вы не совсем правильно поняли мой вопрос (фигуры совместимые, НО ДЛЯ СОВМЕСТИМОСТИ НЕОБХОДИМО СОВЕРШИТЬ ДВИЖЕНИЕ, ВЫВОДЯЩЕЕ ЭТИ ДВЕ РАВНЫЕ И СОВМЕСТИМЫЕ ФИГУРЫ ИЗ ПЛОСКОСТИ, В КОТОРОЙ ОНИ ЛЕЖАТ). А пример, да два разносторонних треугольника, лежащие в одной плоскости и симметричные друг другу относительно какой-либо прямой.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #310162 писал(а):

А пример, да два разносторонних треугольника, лежащие в одной плоскости и симметричные друг другу относительно какой-либо прямой.

Так вот я Вам объясню, чего в точности Вы хотите (раз уж Вы сами отказываетесь): совместить две фигуры только переносами и вращениями, но не отражениями.

Более формально: переносами и непрерывной группой ортогональных преобразований с детерминантом, равным единице.

Естественно, в любом пространстве есть пары фигур, совместимых с использованием отражений, но не совместимых только поворотами.

Пример: возьмете тетраэдр с рёбрами, расположенными по каждой из координатных осей и имеющими разные длины. И зеркально отразите его относительно одной из осей (вообще, относительно нечётного количества осей). Эти два тетраэдра совместить только поворотами -- невозможно.

Выход в пространство на единицу большей размерности позволяет обойтись только поворотами по очень простой причине. Любое ортогональное преобразование в исходном пространстве можно расширить до поворота (т.е. ортогонального преобразования с единичным детерминантом) в расширенном пространстве, положив его равным по дополнительной переменной или тождественным (если исходное преобразование было поворотом), или отражением (если исходным было поворот плюс отражение).

[Sasha2]

Я бы хотел все же более простое объяснение получить.
Детерминанты оно, конечно хорошо. Но все же, совмещая две симметричные фигуры в двумерии, вы в житейском смысле не детерминантами пользуетесь, а просто берете лист бумаги и сгибаете его по линии симметрии (ну относительно которой эти две плоские фигуры симметричны).
В трехмерии я так понял Вы так уже поступить не сможете, точнее могли бы, если бы физически располагали бы четвертым измерением. Правильно ли я понял?

P.S. Но все равно, спасибо за разъяснение. И приношу извинения за то, что не умею достаточно внятно формулировать вопросы.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #310171 писал(а):

совмещая две симметричные фигуры в двумерии, вы в житейском смысле не детерминантами пользуетесь, а просто берете лист бумаги и сгибаете его по линии симметрии

Нет, не детерминантами. Но и не бумагой. А просто отражением.

Детерминанты же -- это способ формально различить только повороты и повороты с отражениями.

А почему добавление отражений соответствует "бумаге", т.е. увеличению размерности пространства, я объяснил (во всяком случае, попытался).

Более конкретно про бумагу. Когда Вы её сгибаете -- Вы осуществляете поворот в трёхмерном пространстве. Этот поворот в конечном счёте сводится к комбинации двух отражений -- по оси $x$ и по добавленной оси $z$ (вообще комбинация любого чётного набора отражений -- это всегда какой-то поворот). Отражение по $x$ происходит в исходной плоскости. А отражение по $z$ фигуру не меняет, т.к. она лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси.

[Sasha2]

Да я так и понял (смутно правда, птому как меня вот эти детерминанты и смутили то). В том смысле, что все таки совмещение этих симметричных фигур происходит поворотом, то есть детерминант такого преобразования всегда положителен (в терхмерии имеется ввиду).
Ну а насчет отсуствия четвертого измерения я прав?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #310175 писал(а):

Ну а насчет отсуствия четвертого измерения я прав?

ewert в сообщении #310169 писал(а):

Выход в пространство на единицу большей размерности позволяет обойтись только поворотами по очень простой причине. Любое ортогональное преобразование в исходном пространстве можно расширить до поворота (т.е. ортогонального преобразования с единичным детерминантом) в расширенном пространстве, положив его равным по дополнительной переменной или тождественным (если исходное преобразование было поворотом), или отражением (если исходным было поворот плюс отражение).

Это верно для любой исходной размерности.

Например, пусть мы пытаемся совместить трёхмерные фигуры отражением по оси $z$. Тогда достаточно добавить перпендикулярную к осям $x,y,z$ ось $t$ и совершить поворот на 180 градусов в плоскости $(z,t)$.