Возведение унимодулярной матрицы в степень.

[Rat]

Здравствуйте!

Вот у меня есть унимодулярная матрица и ее надо возвести в степень N. Не посоветуете литературу, где про это можно почитать. Я знаю, что это делается с помощью полиномов Чебышова, но хотелось бы подробнее.
Спасибо!

[Парджеттер]

А унимодулярная это та, у которой определитель равен 1?

[bot]

Парджеттер, $\pm 1$, если речь идёт о матрице над кольцом целых чисел.

Более общо, унимодулярной матрицей над кольцом с единицей называют квадратную матрицу с обратимым определителем. К примеру, квадратная полиномиальная (полиномы над полем) матрица унимодулярна, если её определитель есть отличный от нуля скаляр.

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Чебышов звучит лучше, чем Чебышев, но правильно - Чебышёв.

[Парджеттер]

bot, да, это на редкость содержательный ответ по теме

Итак, возвращаюсь к мёртвой теме лишь потому, что в широко доступной литературе эта информация отсутствует. Математики обычно тоже не в курсе. Поэтому эта информация может быть полезна.

Итак, пусть есть матрица

$$M=\left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right)$$

Задача стоит в том, чтобы найти $M^N$.

Приводимая в некоторых оптических книгах [Ярив и Юх; Борн и Вольф] формула для возведения матрицы в степень имеет вид

$$M^N=\left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right)^N=\left( \begin{array}{cc} m_{11} U_{N-1} (a) - U_{N-2}(a) & m_{12} U_{N-1}(a) \\ m_{21} U_{N-1} & m_{22}U_{N-1}(a)-U_{N-2}(a) \end{array} \right)$$

где $a=(m_{11}+m_{22})/2$, а $U_N(x)$ - полиномы Чебышёва 2-го рода:

$$U_N(x)=\frac{\sin[(N+1) \arccos x]}{\sqrt{1-x^2}}$$

Есть два сорта доказательства этого факта. Наиболее простой и прозрачный на самом деле простая индукция. Второй - матричный - изложен в статье
F. Abeles, Ann. de Physique 5, 596-640, 706-782 (1950)
которую я бы сам с удовольствием почитал.

Проверка для случаев $N=1, 2$, естественно, тривиальна. Для 2 оставляю это в качестве упражнения.

Пусть этот факт справедлив для $N=k$, т.е.

$$M^k=\left( \begin{array}{cc} m_{11} U_{k-1} (a) - U_{k-2}(a) & m_{12} U_{k-1}(a) \\ m_{21} U_{k-1} & m_{22}U_{k-1}(a)-U_{k-2}(a) \end{array} \right)$$

Необходимо показать, что при этом справедливо

$$M^{k+1}=\left( \begin{array}{cc} m_{11} U_{k} (a) - U_{k-1}(a) & m_{12} U_{k}(a) \\ m_{21} U_{k} & m_{22}U_{k}(a)-U_{k-1}(a) \end{array} \right)$$

Показать это нетрудно, раскрыв произведение матриц

$$M^{k+1}=\left( \begin{array}{cc} m_{11} U_{k-1} (a) - U_{k-2}(a) & m_{12} U_{k-1}(a) \\ m_{21} U_{k-1} & m_{22}U_{k-1}(a)-U_{k-2}(a) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right)$$

в процессе преобразования надо вспомнить про унимодулярность $m_{11} m_{22} - m_{12} m_{21}=1$ и стандартную рекурсивную формулу для полиномов Чебышёва 2-го рода $U_j(x)=2 x U_{j-1} (x) - U_{j-2} (x)$.

Таким образом, эта теорема будет доказана. Так что теперь тему можно каталогизировать.

[Профессор Снэйп]

Приводим матрицу к жордановой форме и считаем от неё любую аналитическую функцию. Хоть возведение в степень, хоть синус-косинус-лонарифм, хоть что ещё...

[Padawan]

Зачем к жордановой? Достаточно только собственные значения найти.

[Парджеттер]

Профессор Снэйп в сообщении #309424 писал(а):

Приводим матрицу к жордановой форме и считаем от неё любую аналитическую функцию. Хоть возведение в степень, хоть синус-косинус-лонарифм, хоть что ещё...

Да, хорошо, что Вы не физик :)

p.s. Жордановость это действительно стрельба из пушки по воробьям. Если бы такая задача стояла чисто математически, то надо было бы только решить задачу на собственные значения, о чем и говорит Padawan.

[BapuK]

Профессор Снэйп в сообщении #309424 писал(а):

Приводим матрицу к жордановой форме и считаем от неё любую аналитическую функцию. Хоть возведение в степень, хоть синус-косинус-лонарифм, хоть что ещё...

А каким образом? Проводим аналогию с рядами Тейлора для функций и вместо переменной подставляем матрицу? или можно как-то по-другому?

[Padawan]

BapuK
Дело в том, что если разность двух многочленов $P(\lambda)-Q(\lambda)$ делится на характеристический многочлен матрицы, то по теореме Гамильтона-Кэли $P(A)-Q(A)=0$. Поэтому естественно в качестве значения функции $f(\lambda)$ при $\lambda=A$ принять значение $P(A)$, где $P(\lambda)$ -- такой многочлен, что разность $P(\lambda)-f(\lambda)$ делится на характеристический многочлен матрицы. В качестве $P(\lambda)$ можно взят интерполяционный многочлен Лагранжа, если корни хар. многочлена простые. Если же корни кратные, то надо еще потребовать, чтобы на корнях совпадали еще и значения производных $P$ и $f$ до порядка кратности корня. Это называется интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

На самом деле достаточно, чтобы $P-f$ делилось не на хар. многочлен, а на так называемый минимальный многочлен матрицы - это многочлен наименьшей степени, аннулирующий данную матрицу. Он равен $\psi(\lambda)=\dfrac{\Delta(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)}$, где $\Delta(\lambda)$ - хар. многочлен, а $D_{n-1}(\lambda)$ - НОД миноров $n-1$ - ого порядка матрицы $A-\lambda E$. $\psi(\lambda)$ имеет те же корни, что и $\Delta(\lambda)$. Вот чтобы его найти можно привести матрицу к жордановой форме. Точнее надо знать саму эту форму, а трансформирующую матрицу знать совсем не обязательно.

Допустим минимальный многочлен матрицы $A$ равен $\psi(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^2(\lambda-\lambda_2)$ (для примера)
Тогда существуют такие матрицы $Z_1, Z_2, Z_3$ (одинакового с $A$) порядка, что для любой функции $f$, аналитической в окрестости собственных значений $A$, будет

$$ f(A)=f(\lambda_1)Z_1+f'(\lambda_1)Z_2+f(\lambda_2)Z_3 $$

Матрицы $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$ называются компонентами матрицы $A$.

Про всё это очень хорошо написано в книжке Ф. Р. Гантмахера "Теория матриц".

[ewert]

BapuK в сообщении #309905 писал(а):

А каким образом? Проводим аналогию с рядами Тейлора для функций и вместо переменной подставляем матрицу? или можно как-то по-другому?

Для матриц произвольного вида -- иначе никак. Нет просто точки опоры. Нет никакого универсального критерия того, что разумно считать функцией от матрицы.

Кроме одного. Многочлен от матрицы -- определяется естественно и однозначно. Ряд же Тейлора -- это естественное обобщение многочленов. Поэтому аналитические функции от матрицы вводятся вполне напрашивающимся способом.

С двумя нюансами. Во-первых, в пределах радиуса сходимости тех степенных матричных рядов (для целых функций типа экспоненты эта проблема, конечно, отпадает). Во-вторых (это если первая проблема всё-таки остаётся) -- не вполне тривиальным оказывается выбор ветви матричной функции.

Но это -- если матрица именно общего вида. Если же она, скажем, эрмитова, то появляется ещё более естественный способ определения функции от неё -- на основе её спектрального разложения. Не требующий аналитичности функции.

Но который с аналитическим разложением, разумеется, согласуется.