Пример не банахова пространства

[fish-ka]

Здравствуйте. Доказываю, что унитарное пространство $C[a,b]$ со скалярным произведением $(f,g)=\int_a^b f(t)\overline {g(t)} dt$ не является полным относительно этой нормы.
В качестве последовательности рассматриваю такую:
$x_n(t)=\left\{ \begin{array}{l} 1,t\geqslant 1/n,\\ t,t\in(-1/n,1/n),\\ -1,t\leqslant-1/n \end{array} \right.$.
Фундаментальность вроде получилась, а как доказать, что она не сходится?

[мат-ламер]

Так она сходится, но к разрывной функции.

[fish-ka]

...которая не лежит в пространстве $C[a,b]$. И это все? В смысле, так просто?)

[Padawan]

Если бы сходилась равномерно, то предельная функция была бы тоже непрерывной.