ряд Фурье для гладкой функции

[Ales]

Рассмотрим непрерывно-дифференцируемую периодическую функцию с периодом $2\pi$.
Пусть модули функции и ее производной ограничены константами $M$ и $M_1$.

Вопрос:
Что определенного и интересного можно сказать про ряд Фурье такой функции?
Мне конкретно интересно следующее:
Будет ли ряд Фурье сходиться равномерно к самой функции? Если нет, то что требуется для равномерной сходимости?
Сколько членов ряда Фурье достаточно для приближенного описания функции с точностью до процента - $\frac M {100}$?

Более общий теоретический вопрос:
Гладкую периодическую функцию можно с некоторой точностью описать таблицей.
Сколько бумаги (памяти) мы сэкономим, если с той же точностью опишем ее рядом Фурье.

[Padawan]

Да, будет равномерно сходится См., например, Фихтенгольц том 3. По-моему параграф так и называется "Равномерная сходимость рядов Фурье". Первая производная может быть даже кусочно непрерывной. Главное - если непрерывная функция имеет ограниченную вариации (на периоде), то её ряд Фурье равномерно сходится ( теорема Жордана-Дирихле).

[Ales]

Padawan в сообщении #309084 писал(а):

Да, будет равномерно сходится См., например, Фихтенгольц том 3. По-моему параграф так и называется "Равномерная сходимость рядов Фурье". Первая производная может быть даже кусочно непрерывной. Главное - если непрерывная функция имеет ограниченную вариации (на периоде), то её ряд Фурье равномерно сходится ( теорема Жордана-Дирихле).

Спасибо. А насколько хорошо сходится не подскажете?
Насколько ряд Фурье лучше таблицы?

-- Вт апр 13, 2010 19:05:42 --

Реально конечно интересно для физической величины.
То есть не "непрерывно-дифференцируемая" функция, а кусочно гладкая (много раз непрерывно-дифференцируемая).

[Padawan]

Плохо сходится, таблица лучше :) Насколько я знаю, рядом Фурье функцию не принято аппроксимировать.

[Ales]

Padawan в сообщении #309094 писал(а):

Плохо сходится, таблица лучше :) Насколько я знаю, рядом Фурье функцию не принято аппроксимировать.

Но ведь у аналитических функций коэффициенты ряда убывают в геометрической прогрессии. Это ведь хорошая скорость?

И потом, если ряды Фурье плохо приближают, то зачем они тогда вообще нужны?
Или для усредненных приближений?

[Padawan]

Для аналитической функции, да, хорошо сходится - но это потому что он для неё фактически степенной ряд. Если полосу отобразить на кольцо $z=e^{ix}$, то получится функция, аналитическая в кольце, а она раскладывается в ряд Лорана.

[st256]

Ales в сообщении #309080 писал(а):

Рассмотрим непрерывно-дифференцируемую периодическую функцию с периодом $2\pi$.
Сколько членов ряда Фурье достаточно для приближенного описания функции с точностью до процента - $\frac M {100}$?

Вообще любой ряд Фурье обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки. Т.е. лучше него в среднеквадратичном смысле ничто не сходится. Но Вам нужна ошибка линейная, поэтому ищите другой ряд.

Цитата:

Более общий теоретический вопрос:
Гладкую периодическую функцию можно с некоторой точностью описать таблицей.
Сколько бумаги (памяти) мы сэкономим, если с той же точностью опишем ее рядом Фурье.

Нисколько. Один в один получится. Посмотрите теорему Котельникова.

[Ales]

Padawan в сообщении #309115 писал(а):

Для аналитической функции, да, хорошо сходится - но это потому что он для неё фактически степенной ряд. Если полосу отобразить на кольцо $z=e^{ix}$, то получится функция, аналитическая в кольце, а она раскладывается в ряд Лорана.

Здорово. Комплексный анализ - мощная штука.
-- Вт апр 13, 2010 20:11:29 --

st256 в сообщении #309120 писал(а):

Вообще любой ряд Фурье обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки. Т.е. лучше него в среднеквадратичном смысле ничто не сходится. Но Вам нужна ошибка линейная, поэтому ищите другой ряд.

Цитата:

Более общий теоретический вопрос:
Гладкую периодическую функцию можно с некоторой точностью описать таблицей.
Сколько бумаги (памяти) мы сэкономим, если с той же точностью опишем ее рядом Фурье.

Нисколько. Один в один получится. Посмотрите теорему Котельникова.

Спасибо.
Получается что величина в общем виде так и так описывается табличкой.
Но тогда за чем же нужны и где лучше всего применяются эти ряды Фурье?
Или есть в мире такие величины, которые хорошо представимы тригонометрическими полиномами?
Движение планет? Что еще?

[ИСН]

Картинки *.jpg видели?
Вот.

[st256]

Цитата:

Получается что величина в общем виде так и так описывается табличкой.
Но тогда за чем же нужны и где лучше всего применяются эти ряды Фурье?
Или есть в мире такие величины, которые хорошо представимы тригонометрическими полиномами?
Движение планет? Что еще?

Для музыки, видео... Там просто очень неравномерный спектр. Некоторые куски спектра с малыми амплитудами можно повыкидывать, т.е. заменить нулями (как в mp3).

[Ales]

ИСН в сообщении #309131 писал(а):

Картинки *.jpg видели?
Вот.

Спасибо. Интересно.

st256 в сообщении #309138 писал(а):

Для музыки, видео... Там просто очень неравномерный спектр. Некоторые куски спектра с малыми амплитудами можно повыкидывать, т.е. заменить нулями (как в mp3).

Спасибо. Наверное так и устроены плохо звучащие CD и MP3.

[st256]

Ales в сообщении #309522 писал(а):

ИСН в сообщении #309131 писал(а):

Картинки *.jpg видели?
Вот.

Спасибо. Интересно.

st256 в сообщении #309138 писал(а):

Для музыки, видео... Там просто очень неравномерный спектр. Некоторые куски спектра с малыми амплитудами можно повыкидывать, т.е. заменить нулями (как в mp3).

Спасибо. Наверное так и устроены плохо звучащие CD и MP3.

И хорошо звучащие тоже. Просто в хорошо звучащих выкидывается меньшее количество участков спектра.

[frankusef]

ИСН, а где картинки-то?