Интересное свойство функции ( f(f(f(f...(x)))...) )

[Legioner93]

Введем функцию $P(n,x)=f(f(f(f...(x)))...)$ - n раз (или по другому - $P(n,x)=f(P(n-1,x)); P(1,x)=f(x)$). $f(x)=e^x-1$.
Оказывается, при больших $n$ верно следующее приближенное равенство: $P(n,\frac{1}{n})=\frac{2}{n}$. Например, $P(5000,0.0002)=0.00039998145$.
Мне оно показалось интересным:) Если это не совсем тривиальность, то интересно было бы увидеть доказательство. Спасибо!
P.S. Эта никакая не учебная задача, а обнаруженный мной лично факт:)

[OV08]

$f(x)$ непрерывна и при $t$ стремящихся к нулю $e^{t}-1$ и $t$ эквивалентны

[ИСН]

Лошадь кушает овёс и сено.

(Оффтоп)

Legioner93, доказательство трудное. На форуме была тема, к чему стремится синус синуса синуса синуса... - вот это что-то из той же оперы.

[RIP]

Утверждение верно. Более общо, для любой постоянной $c\in(0,2)$ верно

$$\lim_{n\to+\infty}nP(n,c/n)=\frac{2c}{2-c}.$$

Причём это верно для любой функции $f(x)$, которая ведёт себя как $x+x^2/2+O(x^3)$ в окрестности нуля, а не только для $e^x-1$ (условие $O(x^3)$, разумеется, можно ослабить, но мне лень смотреть, насколько).
Док-во не очень сложное, но довольно муторное, поэтому мне лень его набивать. Может быть, позже, если никто другой не сподобится.

(Ффтоп)

ИСН в сообщении #308866 писал(а):

На форуме была тема, к чему стремится синус синуса синуса синуса... - вот это что-то из той же оперы.

На самом деле это не совсем из той же оперы, что итерации синуса, поскольку здесь при фиксированном $x>0$ и при $n\to+\infty$ последовательность растёт к бесконечности, а мы интересуемся лишь теми $n$, при которых эта последовательность ещё мала. Поэтому тут док-во не такое простое, как в случае итераций синуса (ну, то есть я простое не могу придумать).

(Ещё один ффтоп)

Кстати, на форуме уже была близкая тема.

(Последний ффтоп)

В общем, идея моего док-ва заключается в следующем. Возьмём параметр $\delta\asymp1/\sqrt n$ (например). Если фиксировать $k$, то при $m$ близких к $k$ посл-ть $a_m=P(m,x)$ ведёт себя, как геометрическая прогрессия со знаменателем $f(a_k)/a_k\approx1+a_k/2$, поэтому за $\approx2\delta/a_k$ шагов $a_k$ превратится в $\approx(1+\delta)a_k$. Здесь предполагается, что $a_k$ мало. Проделав эту процедуру $K\asymp\sqrt n$ раз, начиная с $k=0$, получим элемент посл-ти, равный $\approx(1+\delta)^Ka_0$, при этом его номер равен $\approx\frac{2\delta}{a_0}\sum_{k=0}^{K-1}\frac1{(1+\delta)^k}\approx\frac2{a_0}\left(1-\frac1{(1+\delta)^K}\right)$. Выбирая подходящим образом параметры и оценивая аккуратно все "примерно", получаем требуемое.

[ИСН]

Я не особо вникал, как там что, но если доказывать, пробовал бы через итерации обратной функции (у неё должно быть легче обосновать асимптотику, потому что она никуда не убегает).

[RIP]

Блин, как всё просто оказывается. Вообще устная задача. А я там мучался, считал.

Да даже никаких обратных функций не надо. Пока мы находимся в области малых значений, закон преобразования очень простой: $\frac1{a_{k+1}}=\frac1{a_k}-\frac12+O(a_k)$, поэтому за $n$ шагов мы попадём в $a_n=\frac2n\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)$. То есть ситуация и вправду мало отличается от синуса, даже в чём-то проще. До чего тупой я иногда бываю.

[Padawan]

Я решал подобные задачи так: подбирал композицию отображений вида $x'=f(x)$, $y'=g(y)$, чтобы графики функций $y=x$ и $y=f(x)$ при $x\to 0$ преобразовались в графики функций, имеющих параллельные асимптоты при $x\to+\infty$. Ну а дальше по этим "асимтотически параллельным" "почти прямым" уже нетрудно оценить, как последовательность себя вести будет. Потом обратный переход делаешь, и все.