арифметическая прогрессия

[daogiauvang]

Путь арифметическая прогрессия$x_1,x_2,\cdots$, состоящая из натуральных чисел. Допустим, что для некоторого числа $n$: $\sqrt[2010]{x_n}$ является рациональным. Докажите, что существует число $m$:$ \sqrt[3]{x_m}$ -рациональным а $\sqrt{x_m}$-нерациональным.

[venco]

Вы ничего не пропустили?
$x_n=1$ удовлетворяет условиям и не удовлетворяет доказываемому утверждению.

[daogiauvang]

Что вы написали, я тоже не понял...может быть я условия не правильно написал по-русски.

[venco]

Последовательность, все члены которой - единицы, тоже является арифметической. При этом $\sqrt[2010]{x_n}=1$ рационально, но не найдётся ни одного члена с нерациональным $\sqrt{x_n}$.

[daogiauvang]

Исключение этого случая, значит $d\neq 0$

[RIP]

Пусть $x_n=a^{2010}$. Тогда для любого $k\in\mathbb N$ число $(a^{670}+kd)^3$ будет лежать в арифметической прогрессии. Осталось только взять такое $k$, что $a^{670}+kd$ не является точным квадратом.

[daogiauvang]

Хорошо, выбрал $k=a^{670} d$ то есть $d^2+1$ не является точным квадратом.