Оценка интеграла

[paha]

Пусть $g$ -- строго убывающая положительная функция и интеграл $G=\int_0^{+\infty}g(x)dx$ сходится.

Нетрудно доказать неравенство

$$ \int\limits_0^{+\infty}g(x)e^{-\int\limits_0^x[g(t)]^2dt}dx \ge\frac{1-e^{-g(0)G}}{g(0)}. $$

Я не эксперт а анализе, но мне кажется, это очень грубая оценка. Может кто сочинит оценку получше?
И хорошо бы обойтись без производных функции $g$ в нуле.

[paha]

Эх... лучше не бывает: ступеньку можно сколь угодно хорошо приблизить убывающей положительной функцией...

Ну, а если добавим $g''(x)>0$ и потребуем гладкости $g$

[Padawan]

а такая $\geqslant e^{-F}G$, где $F=\int_0^{+\infty} [g(t)]^2\,dt$ :) ? Или надо только $G$ использовать?

[paha]

Padawan в сообщении #306567 писал(а):

а такая $\geqslant e^{-F}G$

Да, только через них

$F\le g(0)G$, поэтому Ваша оценка (выраженная через $g(0)$ и $G$) хуже

-- Пн апр 05, 2010 16:28:09 --

Модельный пример -- $g(t)=e^{-t}$

[Padawan]

paha
Да хуже, хуже, я ведь не спорю ).

[AD]

Сообщение vladdrums отделено в карантин.

[mihiv]

Необязательно требовать строгого убывания $g(x)$.Достаточно,чтобы было $g(x)\leqslant g(0)$,тогда $\int \limits _0^xg^2(t)dt<g(0)\int \limits _0^xg(t)dt$ и т.к.

$$g(x)e^{-g(0)\int \limits _0^xg(t)dt}=-\frac 1{g(0)}\left (e^{-g(0)\int \limits _0^xg(t)dt}\right )'$$

,то получим ту же оценку.

[paha]

mihiv в сообщении #307235 писал(а):

то получим ту же оценку.

разумеется, я эту оценку так и получал

но я хотел лучшей оценки:)

и согласился при этом на условие $g''(x)>0$, что еще круче строгой монотонности

[mihiv]

При условии $gи

$$G>\int \limits_0^{x_0}(g(0)+g'(0)t)dt=\frac {g(0)}{2|g'(0)|}$$

,где $x_0=\frac {g(0)}{|g'(0)|}$ и получим менее точную,но более простую оценку

$$ I>\frac {1-e^{-g(0)G}}{g(0)}>\frac {1-\exp {(-\frac {g^2(0)}{2|g'(0)|})}}{g(0)} $$

[frankusef]

А мне почему то континуальный интеграл Фейнмана напоминает. Тогда метод стационарной фазы поможет.

[paha]

frankusef в сообщении #308722 писал(а):

Тогда метод стационарной фазы поможет.

нет большого параметра:(