Оператор с конечномерным образом

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить такую задачу.

Оператор $\[A:C\left[ {a,b} \right] \to C\left[ {a,b} \right]\]$, функция $\[K:\left( {\left[ {a,b} \right] \times \left[ {a,b} \right]} \right) \to \mathbb{R}\] $

$\[\left( {Au} \right)\left( x \right) = \int\limits_a^b {K\left( {x,y} \right)u\left( y \right)dy} \]$ $\[\forall u \in C\left[ {a,b} \right]\]$

Доказать, что если образ оператора $A$ конечномерен, то существуют функции $\[\left\{ {{f_k}} \right\}_{k = 1}^N,\left\{ {{g_k}} \right\}_{k = 1}^N\] $ из $\[C\left[ {a,b} \right]\]$, такие, что $\[K\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k = 1}^N {{f_k}\left( x \right){g_k}\left( y \right)} \] $.

Понятно, что раз образ конечномерен, значит можно ввести конечный базис $\[\left\{ {{f_k}} \right\}_{k = 1}^N\]$ в этом образе, значит можно написать:
$ \[\left( {Au} \right)\left( x \right) = \int\limits_a^b {K\left( {x,y} \right)u\left( y \right)dy} = \sum\limits_{k = 1}^N {{a_k}{f_k}\left( x \right)} \]$. На этом мысль останавливается.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #308438 писал(а):

Доказать, что если образ оператора $A$ конечномерен, то существуют функции $\[\left\{ {{f_k}} \right\}_{k = 1}^N,\left\{ {{g_k}} \right\}_{k = 1}^N\] $ из $\[C\left[ {a,b} \right]\]$, такие, что $\[K\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k = 1}^N {{f_k}\left( x \right){g_k}\left( y \right)} \] $.

Этого без дополнительных ограничений на ядро доказать не удастся -- функции $g$ не обязаны быть непрерывными.

Уточните, что требуется от ядра или хотя бы от самого оператора.

А потом воспользуйтесь теоремой Рисса об общем виде функционала.

[ShMaxG]

Я забыл сказать о том, что $K(x,y)$ - непрерывная функция (стало быть оператор $A$ в $C[a,b]$ непрерывен.)

ewert в сообщении #308446 писал(а):

А потом воспользуйтесь теоремой Рисса об общем виде функционала.

Мы не проходили эту теорему, наверно можно проще. Это вы к тому, что $a_k$ - линейные функционалы на $C[a,b]$?

[terminator-II]

Пусть $\{f_k\}$ -- ортонормированный базис в $L^2(a,b)$ такой, что $\mathrm{Im} A=\mathrm{span}\{f_1,\ldots, f_m\}$
Тогда в качестве $K$ можно взять

$$K(x,y)=\sum_{j=1}^m (Af_j)(x)f_j(y)$$

[ShMaxG]

Спасибо!

Осталось с док-вом непрерывности повозиться.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #308449 писал(а):

Мы не проходили эту теорему, наверно можно проще. Это вы к тому, что $a_k$ - линейные функционалы на $C[a,b]$?

Да, конечно.

Без хоть какой-то из теорем Рисса -- боюсь, что никак (во всяком случае, разумно никак).

Рекомендую прислушаться к рекомендации terminator-II. Это вот почему полезно. То, что ядро есть соотв. сумма -- достаточно очевидно. Некоторая морока, однако, с доказательством непрерывности всех базисных функций. Т.е. для функций $f$ ("на выходе") непрерывность вроде достаточно очевидно. А вот для $g$ ("на входе") -- вроде как не совсем. А переход в пространство $L_2$ позволяет воспользоваться его гильбертовостью и, следовательно, "самосопряжённостью".

-- Вс апр 11, 2010 15:41:14 --

terminator-II в сообщении #308456 писал(а):

Пусть $\{f_k\}$ -- ортонормированный базис в $L^2(a,b)$ такой, что $\mathrm{Im} A=\mathrm{span}\{f_1,\ldots, f_m\}$
Тогда в качестве $K$ можно взять

$$K(x,y)=\sum_{j=1}^m (Af_j)(x)f_j(y)$$

Упс, вот порекомендовал, а не вчитался (клюнул на упоминание $L_2$, которое безусловно разумно). "Они всё путают -- и имя, и название..." $\copyright$. С какой стати элементы образа подставляются под сам оператор-то?... И с какой стати обои эфы -- одинаковы (пусть даже и через оператор)?...

Правильно так. $A\vec u=\sum\vec f_k\cdot\alpha_k(\vec u)$, где $\alpha_k$ -- это некоторые линейные ограниченные функционалы. Т.е. $A\vec u=\sum\vec f_k\cdot(\vec u,\vec g_k)$. Т.е. $K(x,y)=\sum f_k(x)\overline{g_k(y)}$. Причём функции $f_k(x)$ и $g_k(y)$ не имеют между собой, естественно, ничего общего. Вообще говоря.

[terminator-II]

разложите любую функцию $u$ по базису $\{f_k\}$ и прямой проверкой убедитесь, что
$\[\left( {Au} \right)\left( x \right) = \int\limits_a^b {K\left( {x,y} \right)u\left( y \right)dy} \]$ где
$K(x,y)=\sum_{j=1}^m (Af_j)(x)f_j(y)$.

[ewert]

Тут явно какая-то путаница в буковках, но какая -- думать лень. Дело в том, что у Вас получается так: если $\{f_k\}$ -- это базис образа, то $\{Af_k\}$ -- это набор образующих образа. Что, разумеется, неверно.

[terminator-II]

ewert в сообщении #308475 писал(а):

Тут явно какая-то путаница в буковках, но какая -- думать лень. Дело в том, что у Вас получается так: если $\{f_k\}$ -- это базис образа, то $\{Af_k\}$ -- это набор образующих образа. Что, разумеется, неверно.

что такое образующие?

[ShMaxG]

terminator-II

По-моему это все-таки не так:

$\[\begin{gathered} Au = \left( {K,u} \right) = \left( {K,\sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}{f_k}} } \right) = \sum\limits_{j = 1}^m {\left( {\left( {K,{f_j}} \right)\left( x \right){f_j}\left( y \right),\sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}{f_k}} } \right)} = \sum\limits_{j = 1}^m {\left( {K,{f_j}} \right)\left( x \right)\left( {{f_j}\left( y \right),\sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}{f_k}} } \right)} = \hfill \\ = \sum\limits_{j = 1}^m {\left( {K,{a_j}{f_j}} \right)\left( x \right)} = \left( {K,\sum\limits_{j = 1}^m {{a_j}{f_j}} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$

ewert

А почему $g_k$ из $C[a,b]$?

[terminator-II]

ewert
я Вас всетаки очень прошу побороть свою лень и прочитать то, что я написал. Я настаиваю на том, что путаницы там нет. Там все тривиально и правильно. Но есть другой более серьезный вопрос. Но сначала разберитесь с тем , что уже написано.

[ewert]

terminator-II в сообщении #308476 писал(а):

что такое образующие?

Линейной оболочкой которых является то самое конечномерное подпространство. (Это формально ещё не означает, что они -- базис.)

ShMaxG в сообщении #308477 писал(а):

ewert

А почему $g_k$ из $C[a,b]$?

А потому, что после сопряжения оператора эти функции окажутся уже не "на входе", а "на выходе". Сопряжённый же (в $L_2$) оператор задаётся тоже непрерывным ядром. Чем и выгоден переход в гильбертово $L_2$.

-- Вс апр 11, 2010 16:18:40 --

terminator-II в сообщении #308478 писал(а):

Но сначала разберитесь с тем , что уже написано.

У меня аналогичное предложение.

По Вашим словам, если $\{f_k\}$ -- базис образа, то значение оператора на любом элементе раскладывается по $\{Af_k\}$.

Но это в принципе не может быть верным. В конце-то концов, оператор может просто начисто аннулировать свой образ. Но это ещё не означает, что он -- тождественный ноль.

Чего-то я не понимаю.

[terminator-II]

да формула действительно неправильная

[ShMaxG]

ewert
А это существенно писать комплексное сопряжение? Что если мы работает над полем $\[\mathbb{R}\]$, функции $g_k$ будут действительными?
А еще, я даже интуитивно не могу понять, что значит "на входе" и "выходе"

[ewert]

ShMaxG в сообщении #308495 писал(а):

я даже интуитивно не могу понять, что значит "на входе" и "выходе"

ну просто жаргон такой, извините. Если $K(x,y)=\sum f_k(x)g_k(y)$, то $f_k$ -- это функции "на выходе" (т.е. через которые выражается любое значение оператора). А $g_k$ -- "на входе" (т.е. которыми управляется действие его на входные функции). После же сопряжения оператора эти два набора функций меняются ролями.

----------------------------------------
Комплексное сопряжение -- да, в данной ситуации никакого принципиального значения не имеет. Это я так, для пущей корректности.