Уравнение Гельмгольца на прямоугольнике

[godsdog]

Дано уравнение:
$\Delta w + \lambda^2w=0$
на прямоугольнике: $0\leq x\leq a$, $0\leq y\leq b$, с граничным условием: $w|_{\Sigma}=K=const$.

Следует найти
$\int_0^a\int_0^bw(x,y)\,dxdy$.

Можно ли найти этот интеграл как-то в обход интегрирования явно выписаного решения ур. Гельмгольца? Например, если итегрировать само уравнение, то второе слагаемое будет содержать искомый интеграл, а для первого хорошо бы иметь что-то наподобие ф-лы Гаусса-Остроградского. Существует ли такая формула?

Спасибо

[ИСН]

Ну, кагбе $\Delta$ - это div grad, так что она самая и есть. Другой вопрос - что толку...

[ewert]

ИСН в сообщении #307912 писал(а):

так что она самая и есть.

Только один нюанс: криволинейный интеграл по границе там получится нетрадиционным. А толку действительно всё равно не будет -- граничные значения градиента заранее ниоткуда не следуют.

[godsdog]

ИCH, ewert, спасибо.
Такой способ найти интеграл от решения действительно тупиковый. Это становиться понятно, если вспомнить, что при $\lambda=\pi^2\left(\frac{k^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)$ (собственные значения оператора лапласа) решение должно иметь особенность. И как не изощряйся с интегрированием самого ур. Гельмгольца, ну никак не получишь результат, расходящийся при определённых $\lambda$.