Некоторые корни уравнения

[e7e5]

Дано уравнение:
$x^4-4x^2+4kx-1=0$ (1) , здесь k может принмать значения от $0$ до $1$.

Нужно найти такие $k$, при которых решение уравнения
$tg \alpha = x_0$ (2), где $x_0$ - корень уравнения (1), представлялось бы
как $\alpha= \frac {p\pi} {q}$, $p$, $q$ - натуральные.

Например, при $k=1$, получаем $\alpha= \frac {\pi} {8}$

Кто может указать еще некоторые другие подходящие $k$ ($\alpha <90^{\circ}$)???

[venco]

А в чём проблема?
Берёте любые ${1\over8} \le {p\over q} \le {1\over4}$, и, подставив $\alpha$ в уравнение, получаете $k$, при котором есть такой корень.
Например, при $\alpha = {\pi \over 6}$ получится $k={5\sqrt 3\over 9}$.

[e7e5]

venco в сообщении #308172 писал(а):

А в чём проблема?
Берёте любые ${1\over8} \le {p\over q} \le {1\over4}$, и, подставив $\alpha$ в уравнение, получаете $k$, при котором есть такой корень.

Эти уравнения связаны с другой сочиненной задачей:

Прямоугольник со сторонами $a$, $b$ ($a<b$)сгибается по прямой проходящей через точку пересечения его диагоналей под углом $\alpha$. Соприкасающиеся части могут образовывать пятиугольник, четырехугольник, треугольник.
Качественно исследуется: под каким углом нужно согнуть прямоугольник, чтобы площадь соприкасающихся частей была минимальна?


Есть некторое "критическое" соотношение сторон прямогуольника ( отношение меньшей стороны к большей не превосходит $\frac {3 \sqrt3 -\sqrt 2} {5}= 0,756387772...$ - критерий сильного отличия сторон, когда гнуть прямоугольник нужно под углом $\pi /4$

Какие есть комментарии???

[alekcey]

Такой вариант. Кривая, по оси ординат k. Для каждой ветви можете получить зависимость x(k), отвечающую условию уравнения. Выбирайте любое нужное значение…