Ортонормированные системы в унитарном пространстве

[fish-ka]

Здравствуйте. А известен ли Вам пример полной (то есть не существует ненулевого вектора, ортогонального всем векторам системы) и не замкнутой (то есть ее линейная оболочка всюду плотна)ортонормированной системы в унитарном пространстве?
Судя по тому, что в гильбертовых пространствах каждая полная является замкнутой, видимо надо рассматривать другие унитарные пространства.

[ewert]

fish-ka в сообщении #306933 писал(а):

Судя по тому, что в гильбертовых пространствах каждая полная является замкнутой, видимо надо рассматривать другие унитарные пространства.

Видимо не надо. Унитарность -- это очень-очень частный случай гильбертовости (под унитарными обычно принято понимать конечномерные комплексные пространства со скалярным произведением).

[id]

Хм, вики говорит про что-то похожее на предгильбертово пространство, т.е. "гильбертово без полноты"

[Padawan]

ewert
Скорее здесь под унитарным пространством понимается предгильбертово пространство.
fish-ka
В $L^2[0,1]$ возьмите полную ортонормированную систему, состоящую из многочленов (многочлены Лежандра), выкиньте из нее $1$, но зато добавьте, например, $e^x$. Линейная оболочка полученной системы - это функции вида $P(x)+\lambda e^x$, где $P(x)$ -многочлен без свободного члена (т.е. $P(0)=0$). Вот эту линейную оболочку и возьмите в качестве Вашего предгильбертова пространства. Многочлены Лежандра без $1$ образуют в нём полную, но не замкнутую систему.

-- Вт апр 06, 2010 19:28:00 --

Короче, суть в том, что ортогональное дополнение некоторой гиперплоскости не принадлежит нашему пространству, потому что оно не полно.

[id]

Хм, может и для последовательностей может что-нибудь придумать.

Возьмем в качестве исходного предгильбертова $H:= \mathrm{span}\{ (1,\frac 1 2,\frac 1 3,\frac 1 4,\dots),\mathbf{e_2},\mathbf{e_3},...\}$ (т.е. линейная оболочка вектора $x=(1,\frac 1 2,\frac 1 3,\frac 1 4,\dots)$ и всех ортов $l_2$, начиная со второго) со скалярным произведением как в $l_2$. Оно будет предгильбертовым, вроде как.

В качестве исходной системы возьмем $\{ \mathbf{e_i} \}_{i=2}^{\infty}$.

[Padawan]

Мы построили примеры, когда полная система имеет коразмерность 1. Аналогично можно построить полные незамкнутые системы конечной коразмерности. А бесконечной получится?

[id]

Думаю, что можно.

Пусть $\alpha \in (0,1)$. $\mathbf{h}_k :=(\alpha^{lk})_{l=0}^{\infty}$.
Т.о. $\mathbf{h}_k = (1,\alpha^k,\alpha^{2k},\dots)$
Известно, что $\{\mathbf{h}_k\}_{k=1}^{\infty}$ - линейно независимая система.

Рассмотрим теперь $H:=span\{\mathbf{h}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{h}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{h}_3,\mathbf{e}_4,\dots\}$.

В качестве системы возьмем все те же $\{\mathbf{e}_i\}_{i=2}^{\infty}$.

Не?

[Padawan]

Да, вроде подходит. Только я хотел, чтобы система имела бесконечную коразмерность в пополнении $H$.

[ewert]

Пусть подпространства $L$ и $M$ бесконечномерны, $L\perp M$. Выберем ортонормированные базисы в них: $\{\vec e_k\}$ в $L и $\{\vec f_k\}$ в $M$. Разобьём последовательность $\{\vec e_k\}$ на бесконечное количество непересекающихся подпоследовательностей. Для каждой из последних выберем любой вектор, принадлежащий замыканию линейной оболочки этой подпоследовательности, но не самой линейной оболочке; пусть это будут векторы $\{\vec u_k\}$.

Тогда линейная оболочка объединения $\{\vec e_k\}\cup\{\vec f_k+\vec u_k\}$ и будет искомым пространством -- его пополнение (т.е. замыкание в объемлющем гильбертовом пространстве) совпадает с $L\oplus M$.

[fish-ka]

Во всем разобрался, как строить - идею понял. Спасибо!