Проблема Гольдбаха-Эйлера:Каждое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Доказательство
Представим число как окружность, разделённую на равные части (дуга e и другие, равные ей), количество которых равно представляемому числу.
Окружности могут быть рассечены (секущая f) на две дуги (ACB и BDA).
Все окружности подобны друг другу. Состояния окружности (или соотношения дуг) при рассечении на две дуги также сохраняются при изменении (добавлении или отнимании) количества частей.
Если одна окружность из чётного количества частей имеет такое сечение (секущая f), что получившиеся дуги (ACB и BDA) не делятся на какое-либо количество дуг, содержащих равное количество частей, то и остальные окружности из чётного количества частей имеют такое сечение.
Окружность из 8 частей рассекается на две дуги так, что обе эти дуги не делятся на какое-либо количество дуг, содержащих равное количество частей: 8 = 5 + 3. Следовательно, все окружности из чётного числа частей могут быть рассечены на две дуги так, что обе эти дуги не делятся на какое-либо количество дуг, содержащих равное количество частей. Значит, все чётные числа могут быть представлены как сумма двух простых чисел.
Заметка:Подобное состояние окружности (соотношение дуг) сохраняется и при добавлении одной части, но с одним но: если рассечь окружность из нечётного количества частей на две дуги, то одна из дуг обязательно будет чётной, поэтому выполнение вышеуказанного состояния (соотношения дуг) сводится к тому, что одна дуга простая, а другая чётная.
Важная заметка об 1:Если одна из дуг равна 1, то и вторую можно разделить на дуги, равные 1. 1-на часть является минимальным делением окружности. Следовательно, при разложении окружности на дуги равные 1 получается та же окружность. Таким образом, дуга равная 1:
1) Не опровергает обязательность наличия у окружностей, состоящих из чётного количества частей, такого состояния при рассечении на две дуги, что обе эти дуги не делятся на какое-либо количество дуг, содержащих равное количество частей;
2) Не является решением этого состояния.
Исключение из чётных чисел – 2:Окружность из 2-ух частей можно рассечь только на дуги равные 1. Кроме того 2 – само по себе чётное число.
2 единственно число, которое получается в результате сложения двух единиц (1+1=2).
Исключение из нечётных чисел – 3:Окружность из 3-ёх частей можно рассечь только на дуги равные 2 и 1. 3 единственное такое число, потому что 2+1 всегда равняется 3.
ДополнениеЗаметка об окружности из 4-ёх частейОкружность из 4-ёх частей единственная из чётных рассекается на простые дуги так, что они оказываются чётными – состоящими из двух частей.
2 является единственным простым чётным числом (все чётные числа делятся на 2, но только 2 равняется 2x1). При а-2=b (a=b+2), где а – чётное число, b всегда чётное, но только при а=4 получается 4-2=2, то есть ещё одна 2, являющаяся простым числом.
О колебании на 2Каждая следующая окружность отличается от предыдущей не более чем на 2, значит минимальное колебание (то есть либо прибавление, либо убавление) какой-либо дуги для сохранения состояния окружности (соотношения дуг) не может быть больше 2-ух частей.
Если 1 прибавить к простому числу, получится чётное (делимое на 2) число, значит, минимальное колебание для сохранения состояния чётной окружности не может быть меньше 2-ух частей.
При одном и том же колебании, измениться на 2 может только одна из двух дуг, вторая либо остаётся неизменной (если 2-е новых части ушли в первую дугу), либо увеличивается на 4 (если ко второй пришли 2 новых части + 2 части из первой): q=k+l, q+2=(k+2)+l, либо q+2=(k-2)+(l+2+2)=(k-2)+(l+4), или q+2=k+(l+2), либо q+2=(k+2+2)+(l-2)=(k+4)+(l-2), где q – количество частей окружности, k и l – количество (не обязательно простое) частей в дугах.
Заметка:
Из понятия «минимума» следует, что в чётной окружности обязательно есть такое рассечение на две простые дуги, что при увеличении количества частей окружности на 2, можно изменить количество частей одной из дуг на 2, и при этом обе дуги останутся простыми.
Тернарная проблема ГольдбахаВсе (за исключением 2 и 4) чётные числа представимы в виде суммы двух простых нечётных чисел, и при этом оба эти числа не меньше 3 (если одно из чисел – чётное 2, то второе тоже чётное; единственное простое чётное число – 2, а 2+2 всегда равно только 4). Любое нечётное число представимо как q+1, где q – чётное. Так как q=x+z, где x и z два простых числа, не меньших 3, то q+1=(x+1)+z или q+1=x+(z+1), где x+1 и z+1 – чётные числа больше 2, а значит, их можно представить в виде суммы двух простых чисел. Таким образом, любое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
Исключения из этого – 5 и 3:
Так как 5-1=4 (4=2+2), а 3-1=2.
2010.06.04;12:34
Этот же текст:
В моём журнале (livejournal)В livejournal-сообществе ru_math
уравнение 
не имеет решений в натуральных числах, то и для всех бОльших 
оно тоже не имеет решений. И гипотезу Римана: если один из нулей дзета имеет действительную часть 
, то и все (ну, почти) они такие!
означает следующее: раскрасить окружность в какие-то из данных 
цветов или в какие-то из других данных 
цветов можно столькими же способами, сколькими ее можно раскрасить в какие-то из 
цветов (те раскраски, что получаются друг из друга поворотами окружности, мы на всякий случай считаем разными). Но так как состояния окружности (а раскраска - это состояние!) сохраняются при добавлении и отнимании частей, то если теорема Ферма верна для 
, в котором одна часть равна сумме всех остальных и который, таким образом, мы предусмотрительно отбросили.
