Теоремы (обратные и противоположные)

[Marina]

Помогите, пожалуйста, ответить на такой вопрос: В условии сказано: "сформулируйте из теоремы обратную, противоположную и противоположную обратной. Какие из них верны? И дана теорема: если в четырехугольнике два противоположных угла прямые, то это прямоугольник".
Но мне кажется, что данная теорема сама сформулирована неправильно(неверно). Я знаю такую теорему: если четырехугольнике все углы прямые, то это прямоугольник. Права ли я или ошибаюсь.?

[AD]

Вы правы, прямая теорема неверна (поиск контрпримера по нашей традиции оставим в качестве упражнения). Впрочем, ясно, что трёх прямых углов тоже достаточно.

[ИСН]

Но какая разница, сформулировать-то обратную и т.д. всё равно можно.

[Marina]

Обратная теорема: если в прямоугольнике два противиположных угла прямые, то это четырёхугольник? (неврная).
Противоположная прямой: если в четырёхугольнике два противоположных угла не прямые, то это не прямоугольник?(неверная).
Противоположная обратной: если в прямоугольнике два противоположных угла не прямые, то это не четырёхугольник? И вообще чушь какая-то.
Зачем такие задачи нужны?

[ИСН]

В моём (бытовом) понимании, обратная - "если это прямоугольник, то".

[Marina]

если это прямоугольник, то два противоположных угла в четырёхугольнике прямые?

[ИСН]

То это 4-угольник, у которого к тому же углы это самое. Как-то так, да. Pretty dumb, зато правда.

[Marina]

Что-то уменя каряво получилось:

Marina в сообщении #307218 писал(а):

если это прямоугольник, то два противоположных угла в четырёхугольнике прямые?

А может так: если это прямоугольник, то в нём два противоположных угла прямые?

[ewert]

Marina в сообщении #307226 писал(а):

Что-то уменя каряво получилось:

Просто потому, что исходное утверждение было выписано в сокращённой форме -- через "это". Полная формулировка такая: "Если в четырёхугольнике имеются два прямых противоположных угла, то этот четырёхугольник является прямоугольником".

Соответственно, обратное утверждение: "Если четырёхугольник является прямоугольником, то в этом четырёхугольнике имеются два прямых противоположных угла".

Вообще, если прямое утверждение -- это $A\rightarrow B$, то обратным будет $B\rightarrow A$, а противоположным -- $\overline A\rightarrow \overline B$. Соответственно, противоположное обратному (или, что то же, обратное к противоположному) -- это $\overline B\rightarrow\overline A$. Надо только грамотно формулировать отрицание.

[Marina]

Но даже записанная в развернутой форме: "Если в четырёхугольнике имеются два прямых противоположных угла, то этот четырёхугольник является прямоугольником"- она неверна. Так?

[ewert]

Marina в сообщении #307238 писал(а):

- она неверна. Так?

Так. Но это никого не волнует. Задачка -- на чисто формальные логические преобразования.

[Maslov]

ewert в сообщении #307233 писал(а):

Соответственно, противоположное обратному (или, что то же, обратное к противоположному) -- это $\overline B\rightarrow\overline A$.

оно же -- эквивалентное прямому.

[Sonic86]

Во! Народ в обратных-противоположных теоремах разбирается!
Товарищи, сформулируйте, пожалуйста обратную и противоположную теорему для утверждений с кванторами $(K_1x_1)...(K_nx_n)A(x_j) \to B(x_j)$. И как будет обстоять дело с неявной элиминацией кванторов? А то я что-то как стал осознавать, что в утверждениях имеются кванторы, так сразу перестал понимать, что такое обратная и противоположная теоремы. И как обстоит дело, когда в $A(x_j)$ есть какой-то термин, а в $B(x_j)$ его нету (или наоборот). Можно книжку.

[Marina]

ewert, я согласна, что "задачка -- на чисто формальные логические преобразования".
Но в условии сказано, что нужно не только сформулировать обратную, противоположную и противоположную обратной, но и указать верна (или неверна) каждая из них.
Противоположная данной теореме: если в четырёхугольнике противоположные углы непрямые, то этот четырёхугольник не является прямоугольником?
Противоположная обратной: если четырёхугольник не является прямоугольником, то в этом прямоугольнике нет двух прямых противоположных углов?

[ewert]

Marina в сообщении #307249 писал(а):

Противоположная данной теореме: если в четырёхугольнике противоположные углы непрямые, то этот четырёхугольник не является прямоугольником?Противоположная обратной: если четырёхугольник не является прямоугольником, то в этом прямоугольнике нет двух прямых противоположных углов?

Примерно так, но лишь примерно. Словосочетание "противоположные углы непрямые" не имеет точного смысла. "Нет двух прямых противоположных углов" -- уже лучше. А ещё лучше, во избежание недоразумений: "из любой пары противоположных углов хотя бы один -- не прямой".

Marina в сообщении #307249 писал(а):

но и указать верна (или неверна) каждая из них.

Maslov в сообщении #307245 писал(а):

ewert в сообщении #307233 писал(а):

Соответственно, противоположное обратному (или, что то же, обратное к противоположному) -- это $\overline B\rightarrow\overline A$.

оно же -- эквивалентное прямому.

И даже более того: противоположное утверждение эквивалентно обратному. Выберите из этих четырёх утверждений те два неэквивалентных, истинность или ложность которых наиболее очевидна.