эндоморфизм в линейном пространстве квадратных матриц

[LynxGAV]

Дано отображение (эндоморфизм в линейном пространстве квадратных матриц порядка 2 над полем действительных чисел)

$f: \mathbb{M}_2(\mathbb{R})\to \mathbb{M}_2(\mathbb{R})$, такое что

$\left[\begin{array}{cc} N-1 & 0 \\ 0 & N-1\end{array}\right] \in \text{Ker} f$, $N=0,1,\ldots,9$,

$\text{Im}f=\left < \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 4 & 0\end{array}\right] \right >$,
(то есть любой вектор из образа $f$ является линейной комбинацией векторов, которые стоят в скобках)

$f\left( \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] \right)= \left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] $,

$f\left( \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right] \right)= \left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 4 & 0\end{array}\right]$.

Как из следующих утверждений верны:

1. Отображение $f$ cюръективно.

2. $\left[\begin{array}{cc} N-1 & 0 \\ 0 & N-1\end{array}\right] $ - собственный вектор $f$.

3. $f$ диагонализуем.

Утверждение 1 не верно. Размерность образа $f$ равна 2 (только два из четырех векторов являются линейно независимыми), в то время как размерность $\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$ равна 4.

Утверждение 2 не верно, если $N=1$ (по определению собственного вектора). Похоже, что для других $N$ это утверждение будет верно, но откуда это следует?

С утверждением 3 тоже не ясно. Два собственных вектора известны из условия, только что это дает. Надо найти матрицу отображения $f$? И в каком базисе?

[paha]

LynxGAV в сообщении #306609 писал(а):

Похоже, что для других $N$ это утверждение будет верно, но откуда это следует?

перечитайте определение

LynxGAV в сообщении #306609 писал(а):

С утверждением 3 тоже не ясно.

найдите все инвариантные подпространства

[LynxGAV]

paha в сообщении #306634 писал(а):

перечитайте определение

Да, по определению вектор $x$ является собственным вектором $f$, если $x\neq O_{\mathbb{M}_2(\mathbb{R})}$ и если $\exists \lambda \in \mathbb{R}: f(x)=\lambda x$.

Для $N=1$ и из определения ядра $f$, следует $f\left( \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] \right)= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$. Потому исходный вектор не собственный вектор.

Если $N\neq 1$, имеем $f\left( \left[\begin{array}{cc} N-1 & 0 \\ 0 & N-1\end{array}\right] \right)= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]=0 \left[\begin{array}{cc} N-1 & 0 \\ 0 & N-1\end{array}\right] $. То есть исходный вектор есть собственный вектор с собственным значением $0$.

paha в сообщении #306634 писал(а):

найдите все инвариантные подпространства

Нет, знание инвариантных подпространств не предполагается. Есть определение, что эндоморфизм векторного пространства диагонализуем, если существует базис, в котором матрица, представляющая эндоморфизм, диагональна. Ну или эндоморфизм диагонализуем, если в векторном пространстве есть базис из собственных векторов. Или если сумма геометрических кратностей собственных значений равна размерности пространства.

Три собственных вектора, которые я вижу, линейно независимы, но для базиса $\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$ их не хватает. Причем, в ответе написано, что этот эндоморфизм диагонализуем для всех $N$.

-- Пн апр 05, 2010 18:58:28 --

Собственные вектора соответствующие различным собственным значениям одного и того же эндоморфизма линейно независимые. Два собственных подпространства соответствующие собственным векторам, которые не принадлежат ядру эндоморфизма, имеют суммарную размерность 2. Собственное подпространство, соответствующее собственным векторам с собственным значением 0, которые принадлежат ядру, имеет размерность 2, так как размерность ядра равна 2. Итого, имеем геометрическую кратность 4 и диагонал. эндоморфизм.

Можно рассуждать так?

[paha]

LynxGAV в сообщении #306650 писал(а):

Можно рассуждать так?

только так и нужно

Вы нашли базис, состоящий из собственных векторов. Это все.