Среднее значение квадрата расстоянияя точки круга

[daogiauvang]

Найти среднее значение квадрата расстоянияя точки круга $ (x-a)^2+(y-b)^2 \leq R^2$ от начала координат.

[ИСН]

Возьмите да проинтегрируйте. $a^2+b^2+R^2$ будет.

[ewert]

ИСН в сообщении #306495 писал(а):

Возьмите да проинтегрируйте. $a^2+b^2+R^2$ будет.

Хм. Т.е. при $a=b=0$ средний квадрат расстояния будет равен квадрату радиуса?...

(А перед интегрированием стоит раскрыть скобки и обратить внимание на то, что средние по кругу значения $ax$ и $by$ заведомо равны -- чему?...)

[ИСН]

Тьфу, чёрт. Круга. (Мне было показалось - окружности.)
Тогда $a^2+b^2+{R^2\over 2}$.

[ewert]

А по окружности и вовсе интегрировать не надо.

[daogiauvang]

Опять я с трудом понял условия и решения. Почему взяли интеграл?

[ИСН]

По кругу. Сначала по углу (это получился ответ для окружности), а потом от середины к краям.

[ewert]

Не так. (Т.е. в конце-то концов, конечно, так, только подводка нехороша.) Просто тупо интегрируем квадрат расстояния по кругу, но -- в полярных координатах.

С одной оговоркой. Предварительно, конечно, надо сдвинуть координаты. Так, чтобы интегрирование велось по кругу с центром в нулях, а расстояние -- соответственно, отсчитывалось бы от соответственно сдвинутой точки.

[Профессор Снэйп]

А среднее от $1/r$ (где $r$ --- расстояние до точки) будет $1/\sqrt{a^2 + b^2}$?

Предположил, не считая. По аналогии с тем, что в $\mathbb{R}^3$ при рассчётах траекторий движения планет можно считать, что масса тела сосредоточена в одной точке --- центре масс.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #306689 писал(а):

Предположил, не считая.

Так же не считая предположу, что нет. Хотя бы потому, что радиус отсутствует. А с какой стати, собссно?...

(ну есть и другие общие соображения)

[ИСН]

Оба неправы. ewert - потому что таки да, у планеты вся масса кагбе сосредоточена в центре. То есть "радиус отсутствует" - не аргумент.
А Вы, Профессор Снэйп, тогда и интегрируйте по сфере в пространстве. Там, наверное, выйдет. На плоскости - нет.

[ewert]

ИСН в сообщении #306699 писал(а):

То есть "радиус отсутствует" - не аргумент.

То есть аргумент. Изначально радиус присутствовал. А если б отсутствовал -- то задача лишалась бы формального смысла. А если б попытаться придать ей смысл, скажем, усреднением по раздувающимся шарам -- то результат усреднения любой однородной функции (кроме константы) был бы или нулём, или бесконечностью. Что бессмысленно (в том смысле, что совершенно бесполезно). И в любом случае не зависел бы от "а" и "бэ", что осмысленности тоже не добавляет.

[Профессор Снэйп]

Я в своём предыдущем посте был в корне неправ

Во-первых, не $1/r$, а всё-таки $1/r^2$. Всё равно что сжать массу в очень тонкий, считай плоский диск. Ничего не изменится, только всё станет в плоскости. С чего я взял, что показатель степени зависит от размерности пространства --- ума не приложу.

А во-вторых, даже не $1/r^2$, а $\vec{r}/r^3$. Или косинус надо добавлять. Всё-таки силы --- это вектора, равноденствующая сил определяется как средний вектор

[ИСН]

Нет, Профессор Снэйп, в корне неправы Вы сегодня. Вчера были в корне правы, только получилось неправильно. Не надо никаких векторов. Потенциал - это не вектор. И он $1/r$. И вот если его усреднить по сфере где-то далеко в пространстве, то получится значение в центре, независимо от радиуса сферы.
(Ну или, если угодно, считайте производную от потенциала. С векторами, ога. Тоже должно получиться хорошо.)
На плоскости потенциал надо брать другой. Потому что решение уравнения Пуассона другое. На плоскости кулоновский потенциал будет иметь вид $\ln r$. И вот его если усреднить по окружности, то таки да, получится значение в центре, независимо от $R$.
А если усреднять по окружности $1/r$, получится херня какая-то.

[Профессор Снэйп]

Я вообще-то не потенциалы, а силы усреднял.

Вот если вместо плоского круга рассмотреть очень тонкий диск... Чем тогда $\mathbb{R}^2$ принципиально отличается от $\mathbb{R}^3$?

-- Вт апр 06, 2010 16:00:48 --

С потенциалом $1/r$ что-то странное начинается, если рассмотреть случай, когда начало координат входит в круг (но центр круга не совпадает с началом координат).