Экстремум с параметром

[cyb12]

В последнее время приходится решать такую задачу. Дана функция многих переменных, например $f(m,q)=2^{q}q+2^{n-m}(n-q)+2^{n+1}$, которая содержит параметр $n$. Необходимо найти максимум этой функции при натуральных значениях переменных, или как можно точнее оценить максимальное ее значение сверху, например $f(m,q)\le 6\cdot2^n$ при некоторых условиях типа равенство и неравенство на переменные, ограничениях области их значений (зависящих от $n$). При отсутствии такого параметра часто легко воспользоваться функцией Лагранжа. А вот с ним получается совсем трудно. Хотелось бы узнать, есть ли автоматизированные средства, позволяющие решать подобные задачи? Можно ли как-то еще решать?

[alekcey]

А каким образом Вы применяете функции Лагранжа? Натуральные значения переменных – это буквально целые положительные и ещё 0?

[cyb12]

Максимум я ищу как у обычной функции, она всегда, как говорят, "хорошая", и обычно монотонна. Потому достаточно бывает взять целую часть.

alekcey в сообщении #306386 писал(а):

Натуральные значения переменных – это буквально целые положительные и ещё 0?

Да, но обычно 0 не бывает, такая специфика задачи. Там рассматривается некая дискретная модель, которую очень долго описывать.
В принципе можно оставить вопрос без ограничения на "натуральность".

[alekcey]

Тогда понятнее. Рассматривайте параметр как обычную переменную. Чего в нём такого? Тогда Ваша функция – функция от трёх переменных. И у Вас добавляется частных производных и, соответственно, уравнений в системе на поиск экстремума...

-- Вс апр 04, 2010 21:47:45 --

Есть другой вариант. Составляете систему с одной лишней переменной, то есть, как уже есть. И получаете методом продолжения по параметру (лучше не Вашему, а длине дуги кривой, потому что тогда проходятся “сложные” участки) все решения – линию всех экстремумов. Если решите двигаться по кривой, принимая за параметр её длину, то найдите метод Драгилева, разобраться будет несложно…

[cyb12]

Да, так и приходится решать. Но в конкретных задачах аргументы минимума получаются в виде повтроных и тройных логарифмов и их линейных комбинаций. Просто интересно, есть ли что-нибудь подобное в матлабе, маткаде, математике или еще где-нибудь?

[alekcey]

cyb12 в сообщении #306407 писал(а):

Да, так и приходится решать. Но в конкретных задачах аргументы минимума получаются в виде повтроных и тройных логарифмов и их линейных комбинаций. Просто интересно, есть ли что-нибудь подобное в матлабе, маткаде, математике или еще где-нибудь?

Решение уравнений с одной лишней переменной пытается изобразить Математика, но, думаю, это не Ваш случай. Зато у неё и у Мэпла есть способ получения линии пересечения неявных поверхностей. Два уравнения, три переменных – линия. Попробуйте спросить на сайте экспоненты, как получить эти точки массивом. Там есть толковые пользователи…