Интеграл от ВБР в явных функциях

[Raistlin]

Здравствуйте!
Можно ли выразить вот такой интеграл в явных функциях и через мат.ожидание и дисперсию :$\int_{0}^{\infty} xP_{\xi}(x) dx$, где $P_{\xi}(t)$ - ВБР некоторой случайной величины $\xi$, закон распределения которой в общем случае должен быть неизвестен?
На данный момент, ничего лучше численного взятия интеграла для конкретных законов распределения я не придумал (кстати, полученное значение довольно быстро устремляется к некоторой постоянной величине).

[Raistlin]

Свел задачу к вычислению предела $\lim\limits_{t \to \infty} {t^2 }P_{\xi}(t)$. Предполагаю, что предел должен быть равен 0, доказать по-прежнему не могу.

[--mS--]

Raistlin в сообщении #306329 писал(а):

где $P_{\xi}(t)$ - ВБР некоторой случайной величины $\xi$, закон распределения которой в общем случае должен быть неизвестен?

Простите моё невежество: а что такое ВБР?

[ewert]

(Оффтоп)

"Всё, о чём вы хотели знать, но боялись спросить!" $\copyright$

[Raistlin]

--mS-- в сообщении #306955 писал(а):

Простите моё невежество: а что такое ВБР?

ВБР - вероятность безотказной работы, через функцию распределения выражается так: $P_{\xi}(x) = 1 - F_{\xi}(x)$

[--mS--]

Raistlin в сообщении #307036 писал(а):

ВБР - вероятность безотказной работы, через функцию распределения выражается так: $P_{\xi}(x) = 1 - F_{\xi}(x)$

Эта штука обычно обозначается как $\overline F_\xi(x)$ и называется правым хвостом распределения. Eсли $\xi$ - неотрицательная случайная величина с конечным вторым моментом, то

$$ \int\limits_0^\infty x \overline F_\xi(x) \, dx = \int\limits_0^\infty \overline F_\xi(x) \, dx^2 /2 = $$

$$ = \left. \frac{x^2}{2} \overline F_\xi(x) \right|_0^\infty - \int\limits_0^\infty \frac{x^2}{2}\, d \overline F_\xi(x) = \int\limits_0^\infty \frac{x^2}{2}\, d F_\xi(x) = \frac{\mathsf E \xi^2}{2}. $$

Равенство нулю предела на бесконечности $\lim\limits_{x\to\infty} x^2 \overline F_\xi(x)$, которое Вы хотели получить выше, вытекает из существования второго момента:
$\int\limits_0^\infty t^2 d F_\xi(t)$ сходится, следовательно его хвост $\int\limits_x^\infty t^2 d F_\xi(t) $ стремится к нулю при $x\to +\infty$. Используем это:

$$ 0 \leftarrow \int\limits_x^\infty t^2 d F_\xi(t) \geq \int\limits_x^\infty x^2 d F_\xi(t) = x^2 \, \mathsf P(\xi > x) = x^2 \, \overline F_\xi(x) \geq 0. $$

[Raistlin]

--mS--, спасибо!
А я слепой, видимо...