Т-ма Дьедонне-Шварца (про прямой-сопряженный операторы)

[nckg]

id в сообщении #305631 писал(а):

Нельзя ли придумать простое доказательство исходя из того, что ...

Это мне самому интересно :)

(Оффтоп)

Можно показать "в лоб", что из замкнутости $R(T)$ следует замкнутость $R(T^*)$.
(С помощью принципа равномерной ограниченности и теоремы Хана-Банаха, т.к. $R(T)$ будет банаховым)

Если банахово пространство -- рефлексивное, то получаем, что из замкнутости $R(T^*)$
следует замкнутость $R(T)=R(T^{**})$. А вот можно ли доказать, что из замкнутости $R(T^*)$ следует замкнутость $R(T)$, не используя рефлексивности, я пока что не знаю...

[id]

Это не оффтоп же все-таки.
Примерно понятно. Необходимо и достаточно показать полноту $\mathrm{Im} \ T^*$, для этого берем в нем фундаментальную последовательность $\{f_n\}_n$, $\forall x \in \mathrm{Im} \ T \ f_n(x)$ сходится к чему-то в силу фундаментальности. Но этот предел пока что не обязан быть ограниченным линейным функционалом.
Но $\{f_n\}_n$ - последовательность огр. операторов на банаховом $\mathrm{Im} \ T$, при этом $| f_n(x) | \leqslant C_x$. Значит по Банаху-Штейнгаузу получаем $|f_n(x)| \leqslant C \|x\|$. Значит, предел выше будет ограниченным лин. функционалом.
Ну а по Хану-Банаху его можно продолжить с $\mathrm{Im} \ T$ на все пространство.

-- Сб апр 03, 2010 18:47:50 --

То есть никакого основания возможности применить функтор $(^*)$ к коммутативной диаграмме

$$ \xymatrix{ E\ar[r]^T \ar[d]^{pr} & F\\ {E / \mathrm{Ker} \ T} \ar[ur]^{\widehat{T}} } $$

дабы получить диаграмму

$$ \xymatrix{ {E^*} & {F^*} \ar[l]^{T^*} \ar[dl]^{\widehat{T}^*}\\ {(E / \mathrm{Ker} \ T)^* \ar[u]^{pr^*}} } $$

чтобы воспользоваться тем, что $\widehat{T}$ - изоморфизм и сделать отсюда вывод о том, что $\widehat{T} ^*$ - изоморфизм, нет? (это я полагаею, что $\mathrm{Im} \ T$ замкнут и пытаюсь показать замкнутость $\mathrm{Im} \ T^*$)

[nckg]

id в сообщении #306046 писал(а):

Необходимо и достаточно показать полноту $\mathrm{Im} \ T^*$, для этого берем в нем фундаментальную последовательность $\{f_n\}_n$, $\forall x \in \mathrm{Im} \ T \ f_n(x)$ сходится к чему-то в силу фундаментальности. Но этот предел пока что не обязан быть ограниченным линейным функционалом.

Немножко точнее. Нужно показать, что если $(f_n)\subset F^*$
и $T^*f_n \to g\in E^*$, то существует $f\in F^*$, что $g=Tf$.
(здесь, как и на Ваших диаграммах, $T\colon E\to F$)

По поводу диаграмм --- согласен, интуитивно хочется их как-то связать.

Ещё, кстати, есть хорошие равенства $\overline{R(T)}=N(T^*)^\perp$, $\overline{R(T^*)}=N(T)^\perp$, где замыкания беруться в слабой и *-слабой топологиях соответственно (доказательство первой формулы см. выше).
Стоит отметить, что в локально выпуклом пространстве замыкания любого выпуклого множества (в частности, линейного подпространства) в исходной и слабой топологиях совпадают.
Поэтому замкнутость $R(T)$ по норме и в слабой топологии равносильны.
Чего нельзя сказать про замкнутость $R(T^*)$ в $E^*$ и замкнутость $R(T^*)$ в *-слабой топологии.

P.S. ну да, не совсем оффтоп:)

[id]

nckg
А разве если доказать полноту $\mathrm{Im} \ T^*$ как нормированного подпространства $E^*$ с инд. топологией (что я и попытался сделать) мы не докажем его замкнутость?

Полное док-во для сопряженного, оказывается, в Данфорде-Шварце есть; но оно нетривиально, увы.

[nckg]

id в сообщении #306182 писал(а):

А разве если доказать полноту $\mathrm{Im} \ T^*$ как нормированного подпространства $E^*$ с инд. топологией (что я и попытался сделать) мы не докажем его замкнутость?

Да, докажем. Я не обратил внимания, что Вы индуцированную топологию рассматриваете.
Но: нужно показать, что фундаментальная последовательность сойдётся к элементу $\mathrm{Im} \ T^*$, а у Вас доказано, что она сходится к элементу $E^*$. Дело в том, что ниоткуда не следует, что продолжение функционала по Хану-Банаху не "вылезет" из $\mathrm{Im} \ T^*$.

id в сообщении #306182 писал(а):

Полное док-во для сопряженного, оказывается, в Данфорде-Шварце есть; но оно нетривиально, увы.

А в Данфорде-Шварце где?

[id]

nckg
В Данфорде это Глава VI, параграф 6 "Операторы с замкнутой областью значений".

Да, этот минус надо поправить, подумаю.

Впрочем, ответ так или иначе есть в том же параграфе "Линейных операторов", Теорема 2; это следует из того, что если $\mathrm {Im} \ T$ замкнут, то $\mathrm {Im} \ T^*$ есть $\{y \in E^* : \ x\in \mathrm{Ker} \ T \Rightarrow y(x) = 0\}$.