2
Somewhere far beyondКажется, вы непоняли условие. До меня тоже не сразу дошло. :)
Попробую прокомментировать некоторые ваши замечания.
Цитата:
определите действие, что значит округляем на плоскости
Имеется ввиду один из возможных способов округления.
Цитата:
"вертим дальше" - по какому алгоритму вертим? по какой функции?
По той же самой, как и при первом вращении, поворотом на тот же данный угол.
Кстати, в первом сообщении
VoloCh'а приводится и попытка формализации задачи в терминах итерирования композиции покоординатного округления и линейного преобразования (поворота). К такой формулировке уже просто так не "прикопаешься". :)
Первым попытку решения задачи предпринял
Sonic86, анализируя эволюцию удаленности рассматриваемой точки от начала координат. Но в его ответе, увы, отстутсвует квантор всеобщности. :)
Я при попытке анализа задачи использовал аналогии с растеризацией окружностей -- множеств образов поворота на всевозможные углы. Подсвечивание пикселя как-раз решает проблему произвольности в выборе алгоритма округления (т.е., вместо того, чтобы решать в какую вершину клетки прыгнуть, прыгаем сразу во все).
Все что мне удалось показать, так это то, что на первый взгляд система все-таки может улетать на бесконечность. Сходимость же может обеспечиваться лишь двумя способами, во-первых, в силу увеличения длины элементарного перемещения по мере удаления от начала координат, неизбежно закручивание траектории в спираль, сходимость/расходимость которой, однако, проанализировать в общем случае (т.е., в том числе при использовании "невыгодных" способов округления) очень сложно; во-вторых, растеризованные образы окружностей близких радиусов могут частично пересекаться, что свидетельствует в пользу существования -- в случае равномерности распределения "дырок" в упомянутом пересечении -- некоторых "хороших" углов при которых моделируемая траектория будет проскаивать через эти "дырки" и, таким образом, в конечном итоге зацикливаться без ухода на бесконечность даже при использовании "плохого" округления (по направлению к бесконечности с учетом знака).
Участник
gris начал с похожего подхода, взяв вместо системы концентрических окружностей набор т.н. цетов и далее начал анализировать переходы между ними. Потом он наговорил много интересных вещей, в частности о связи задачи
VoloCh'а с ограниченностью точности маш. арифметики, но, к сожалению, тоже не привел строгих доводов в пользу теоретической сходимости траекторий.
Также, в ходе обсуждения выяснилось, что траектории могут расходится из-за ограничений точности задания угла поворота. То есть, может случайно возникнуть такая последовательность ошибок, что траектория никогда не зациклится (поэтому результатам численного моделирования этой системы доверять не стоит).
А в упомянутых выше статьях, Козякин et al., понятное дело, продвинулись гораздо дальше (ход их мысли я так и не проследил), но, судя по комментариям топикстартера, по прежнему не получили окончательного удовлетворительного результата. То есть, как я понял, до сих пор нет доказательства того, что даже подобрав определенным образом параметры задачи, мы в любом случае не сможем оказаться в бесконечности. Другими словами, вопрос открыт. :)
. Это означает, что для точек с радиусом 
положение точки после поворота может отличаться от теоретического. И для точек, находящихся так сказать с краю, возможен переход в следующий цет. Ну цикл. Или в предыдущий. Скорее всего, эти переходы будут компенсировать друг друга, но 
, далее повернули вокруг системы координат, градус поворота есть некая неизвестная "
"
