VB на замыкании.

[AD]

Пусть функция $f$ имеет ограниченную вариацию на множестве $E\subset[a,b]$, интегрируема на $[a,b]$, и неопределенный интеграл $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ всюду на $[a,b]$ имеет производную, равную $f$. Можно ли утверждать, что $f$ имеет ограниченную вариацию на замыкании множества $E$?

То есть это я интересуюсь, не знает ли кто-нибудь обобщения известного утверждения о том, что если $f\in\mathrm{VB}(E)$ и $f\in C[a,b]$, то $f\in\mathrm{VB}(\overline{E})$.

(Оффтоп)

Дифференцируемость неопределенного интеграла еще даже иногда называют "непрерывностью по Чезаро" - в том плане, что $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ напоминает "чезаровское" среднее значение функции $f$.

upd: Эх, узнал-таки решение (хотя и не сам решил , но оно сравнительно несложное). Предлагаю остальным порешать. Если кому интересно, ответ на задачу (но не решение) здесь:

(ответ)

Ответ отрицательный, приводится контрпример, то есть существует функция - ограниченная точная производная, для которой $\mathrm{VB}$ на замыкании, вообще говоря, нету.

[Полосин]

Из условия следует, что у $f$ могут быть разрывы только второго рода. Если $f$ не непрерывна, как понимается условие $F'=f$?

Пример $F(x)=\int\limits_0^xt^{-3/2}\sin(t^{-1})dt$ имеет отношение к делу?

[AD]

Полосин в сообщении #301131 писал(а):

Если $f$ не непрерывна, как понимается условие $F'=f$?

Эээ ... ну как написано, так и понимается. $\forall x\in[a,b]$ $F'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}h=f(x)$.

Да, в этом Вашем примере $F'(0)=0$, и если $f$ доопределена нулём, то $F'(0)=f(0)$. Правда, $f$ интегрируема не по Лебегу, ну и фиг с ней. Только этот пример к ответу на вопрос не приближает совсем. Для этой функции утверждение верно для любого $E$, и это очевидно. Вообще, ясно, что если строить контрпример, то точек разрыва нужно бесконечно много, а то и континуум.

upd: ой, нет, я всё перепутал. Вот если бы $F(x)=x^{3/2}\sin(x^{-1})$, то да. А тут у Вас $F(x)\approx x^{1/2}\sin(x^{-1})$, и производной нету.
_________________

Да, давайте, действительно, вот так переформулируем: Есть функция $F$ такая, что $F'(x)=f(x)$ при всех $x\in[a,b]$, и $f$ имеет органиченную вариацию на множестве $E\in[a,b]$. Следует ли отсюда, что $f\in \mathrm{VB}(\overline{E})$.

[AD]

Перенёс в олимпиадный раздел в связи с тем, что я теперь знаю решение (и оно не очень сложное).
Вдруг кому понравится?

[Padawan]

А что такое вариация функции на множестве?

[AD]

Это $\sup\limits_\pi\sum\limits_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|$ по всем наборам попарно неперекрывающихся отрезков $\pi=\{[a_i,b_i]\}_{i=1}^n$, у которых концы в нашем множестве.