ТФКП: как найти образ области при отображении

[Полосин]

Как применить, я написал выше. В чем проблема-то? Стандартная учебная задача, решается стандартными рассуждениями.
Сюрьективность при конформных отображениях обеспечивается автоматически.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Достаточно уже того, что рассматриваемое отображение непрерывно.

[Профессор Снэйп]

Полосин в сообщении #306001 писал(а):

Как применить, я написал выше.

Где? Процитируйте!

-- Сб апр 03, 2010 18:41:09 --

Полосин в сообщении #306001 писал(а):

Сюрьективность при конформных отображениях обеспечивается автоматически.

Не понял. Каждое конформное отображение имеет своим образом всё $\mathbb{C}$, так что ли?

-- Сб апр 03, 2010 18:43:08 --

На основании чего Вы делаете вывод, что в обсуждаемой задаче образом $E$ будет вся нижняя полуплоскость? Как это вывести из принципа соответствия границ, я не вижу. Даже после того, как процитировал формулировку принципа из книжки. С ней-то Вы, я надеюсь, согласны!?

[Полосин]

Профессор Снэйп, всякая однозначная аналитическая функция осуществляет конформное отображение. Обратно, если одна область конформно отображается на другую, то функция, осуществляющая это отображение, будет аналитической в этой области (и обратная к ней - тоже).
Конформное отображение всегда взаимно однозначно, то же справедливо и для границ, с сохранением ориентации.
В данной задаче функция не имеет особенностей в области, значит, общие принципы, в частности, принцип соответствия границ, справедливы.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Смотрите: допустим круг отображается непрерывно и иньективно в круг $f\colon B\to D$, причем $f(\partial B)=\partial D$ - граница переходит в границу. Следует ли отсюда, что $f(B)=D$ ?

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #306014 писал(а):

Профессор Снэйп
Смотрите: допустим круг отображается непрерывно и иньективно в круг $f\colon B\to D$, причем $f(\partial B)=\partial D$ - граница переходит в границу. Следует ли отсюда, что $f(B)=D$ ?

Вероятно, следует, но как это формально вывести, с ходу не вижу.

-- Сб апр 03, 2010 19:21:27 --

Полосин в сообщении #306013 писал(а):

Профессор Снэйп, всякая однозначная аналитическая функция осуществляет конформное отображение. Обратно, если одна область конформно отображается на другую, то функция, осуществляющая это отображение, будет аналитической в этой области (и обратная к ней - тоже).
Конформное отображение всегда взаимно однозначно, то же справедливо и для границ, с сохранением ориентации.
В данной задаче функция не имеет особенностей в области, значит, общие принципы, в частности, принцип соответствия границ, справедливы.

Всё равно не понимаю

Нам что надо. Вот дана функция $f(z) = (z + 1/z)/2$. Это функция из $\overline{\mathbb{C}}$ в $\overline{\mathbb{C}}$. Она, безусловно, аналитична. Теперь у нас есть область

$$ E = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1,\, \mathrm{Im}(z) > 0 \} $$

с кусочно-гладкой границей

$$ \partial E = [-1,1] \cup \{ e^{i\varphi} : \varphi \in (0,\pi) \} $$

Имеем следующее:

1) $f$ аналитична на $\overline{\mathbb{C}}$ как сумма линейного и дробно-линейного отображений.

2) $f(\partial E) = \mathbb{R} \cup \{ \infty \}$, устанавливается при помощи несложных вычислений.

3) $f(E) \subseteq L = \{ z \in \mathbb{C} : \mathrm{Im}(z) < 0 \}$. Устанавливается очевидным образом через тригонометрическую запись числа $z \in E$.

Нам надо доказать, что $f(E) = L$. Если следовать Вашему плану, то

1)

Цитата:

всякая однозначная аналитическая функция

для начала надо доказывать однозначность, то есть инъективность ограничения $f$ на $E$. Тоже требует вычислений, но, допустим, сделали.

2) Доказать однозначность, мы получим, что $f$ конформно отображает $E$ на $f(E)$. И что дальше? О каких "общих принципах" речь? Если о принципе соответсвия границ, то, вероятно, можно сказать, что $f \upharpoonright E$ можно непрерывно продолжить на $E \cup \partial E$, причём это продолжение будет отображать $\partial E$ на границу $\partial f(E)$, а так как такое непрерывное продолжение единственно (и совпадает с самой $f$, ограниченной на замыкание $E$), то сама $f$ обязана отображать границу $\partial E$ на границу $\partial f(E)$, и поскольку $f(\partial E) = \mathbb{R} \cup \{ \infty \}$, то других точек границы у $f(E)$ нет, и поэтому $f(E)$ занимает всю нижнюю полуплоскость.

Ну да, логику теперь вижу. Но неужели нельзя было просто решить квадратное уравнение. Нам тогда даже инъективность не придётся доказывать.

-- Сб апр 03, 2010 19:28:36 --

Padawan, кажется, вижу, как ответить на Ваш вопрос про круги. Если образ не равен всему $D$, то его можно непрерывно растянуть на границу. По теореме Брауэра о неподвижной точке получится неподвижная точка на границе. Границу потом можно "повертеть" и добится отсутствия неподвижной точки, что даст противоречие.

Хм, а точно ли можно навертеть отсутствие неподвижной точки?.. Там надо не "вертеть", а более сложным образом трансформировать. Но, а принципе, всё можно!

Да, Ваше утверждение следует из теоремы Брауэра о неподвижной точке.

[ewert]

Тут чего-то много чего понаписали, вчитываться не совсем досуг, так что извините, если кого вдруг продублирую.

Конечно, взаимную однозначность в том или ином виде придётся задействовать. Конкретно здесь -- придётся задействовать (увы, это неизбежно) взаимную однозначность обратной функции (в смысле одной из её ветвей) на всей плоскости с разрезами (не очень принципиально какими конкретно) на вещественной оси. Это -- да, нужно. Но если это есть, то всё остальное -- уже не важно.

Профессор Снэйп в сообщении #306016 писал(а):

следует из теоремы Брауэра о неподвижной точке.

Из пушки по воробьям оно тоже, наверное, следует.