ТФКП: как найти образ области при отображении

[Ven0m104]

Тогда весь образ, это действительная прямая? А вы ведь говорили, что все числа с отрицательной мнимой частью.
А что было бы в таком случае, если бы |z|<2 был, например?
И кстати, правильно ли, что образ границы остается границей?

[Полосин]

Для конформных отображений справедлив т.н. принцип соответствия границ: граница переходит в границу, причем область, остающаяся слева при движении по исходной границе, переходит в область, остающуюся слева при соответствующем движении по новой границе. Подробнее см. любой учебник по ТФКП.

[Ven0m104]

Полосин в сообщении #305949 писал(а):

Для конформных отображений справедлив т.н. принцип соответствия границ: граница переходит в границу, причем область, остающаяся слева при движении по исходной границе, переходит в область, остающуюся слева при соответствующем движении по новой границе. Подробнее см. любой учебник по ТФКП.

Cпасибо.

Я все еще не понял, почему вся нижняя полуось(полуплоскость, разумеется) является образом, а не только прямая.

[Полосин]

Граница исходной области состоит из двух частей: отрезка $[-1,1]$ и единичной полуокружности, причем по отрезку мы движемся слева направо, а по полуокружности - против часовой стрелки. Выбираем параметризацию: для отрезка $z=x, -1 \to x \to 1$, для полуокружности $z=e^{i\varphi}, 0 \to\varphi\to\pi$. Новую границу (т.е. образы указанных множеств) и область, остающуюся слева при движении по новой границе, найдите сами.

[Профессор Снэйп]

Ven0m104 в сообщении #305952 писал(а):

Я все еще не понял, почему вся нижняя полуось является образом, а не только прямая.

Нижняя полуось --- это как? Может, нижняя полуплоскость?

Я знаю один способ: явно показать, что каждая точка нижней полуплоскости является прообразом, решив квадратное уравнение. Но тут говорят, что есть способ проще: сослаться на некий "принцип соответствия границ", который можно найти в любом учебнике по ТФКП.

-- Сб апр 03, 2010 17:32:15 --

Полосин в сообщении #305957 писал(а):

...причем по отрезку мы движемся слева направо, а по полуокружности - против часовой стрелки.

И движение лучше начинать из нуля. Ну, или не смущаться бесконечно удалённой точкой :)

-- Сб апр 03, 2010 17:35:09 --

См. правый рисунок

[Полосин]

"Некий принцип соответствия границ" входит в программу любого учебного курса по ТФКП. Действия над бесконечно удаленной точкой выполняются по тем же самым правилам, что и над любыми другими комплексными числами.

[Профессор Снэйп]

Я вот, кстати, внимательно прочитав формулировку принципа в Вики (как русский, так и английский варианты), не увидел того, что нужно в этой задаче! По ходу, принцип тут не работает и квадратное уравнение решать таки надо.

[Полосин]

Профессор Снэйп в сообщении #305972 писал(а):

Я вот, кстати, внимательно прочитав формулировку принципа в Вики (как русский, так и английский варианты), не увидел того, что нужно в этой задаче! По ходу, принцип тут не работает и квадратное уравнение решать таки надо.

Откройте, пожалуйста, учебник Лаврентьева и Шабата по ТФКП. И не смущайте безграмотных студентов безграмотными заявлениями.

[Профессор Снэйп]

У меня нет этого учебника

Полосин, если Вам не сложно, воспроизведите, пожалуйста, точную формулировку принципа соответствия границ, на которую надо ссылаться в этой задаче.

[Полосин]

См. выше.

[Профессор Снэйп]

Я так понял, нужно примерно следующее утверждение:

Пусть $f$ --- отображение из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$ и $U \subseteq \mathbb{C}$, причём $U$ и $f$ обладают некими свойствами (какие именно свойства, необходимо уточнять). Пусть $f(\partial U) = \Gamma$ и кривая $\Gamma$ делит $\mathbb{C}$ на две несвязные области. Тогда $f(U)$ совпадает с одной из этих областей.

В Вики ничего подобного нет.

-- Сб апр 03, 2010 17:59:23 --

Как из принципа соответствия границ следует, что образом $E$ при отображении Жуковского будет вся нижняя полуплоскость? Либо в Вики формулировка принципа соответствия границ неправильная, либо никак не следует. Если в Вики неправильно, приведите правильную формулировку.

[Полосин]

При всем уважении к википедии, я бы все-таки не рекомендовал изучать по ней математику.

[Профессор Снэйп]

Ну так сформулируйте принцип, это же несложно!

[Полосин]

Я же написал: см. выше.

[Профессор Снэйп]

Посмотрел в учебнике "Ю. В. Сидоров, М. В. Федорчук, М. И. Шабунин, Лекции по теории функций комплексного переменного". Так сказано следующее:

Принцип соответствия границ. Если функция $w = f(z)$ конформно отображает область $D$ на область $G$, то

1) функцию $f(z)$ можно непрерывно продолжить на замыкание области $D$, то есть можно доопределить $f(z)$ на $\Gamma$ так, что получится непрерывная в $\overline{D}$ функция;

2) Эта функция $w = f(z)$ отображает взаимно однозначно кривую $\Gamma$ на кривую $\widetilde{\Gamma}$ с сохранением ориентации.

И что? Каким боком это можно применить к нашей задаче?

-- Сб апр 03, 2010 18:08:12 --

Полосин в сообщении #305993 писал(а):

Я же написал: см. выше.

В том, что Вы написали, нет ни слова про сюрьективность. А ведь нам именно её и требуется доказать!