ТФКП: как найти образ области при отображении

[Ven0m104]

Подскажите пожалуйста, каков ход действий в задачах такого типа :
найти образ множества $E:|z|<1; imZ>0$ при отображении $w=\frac 1 2 (z+\frac 1 z)$
или что мне конкретно здесь следует сделать.

[Профессор Снэйп]

Функция Жуковского

[Ven0m104]

ээ, ну мне же задачу надо научиться решать, а не дать имя функции.

[Профессор Снэйп]

Да там всё просто. Распишите комплексное число в тригонометрической форме. Ну и вспомните, как решаются квадратные уравнения

-- Сб апр 03, 2010 15:02:17 --

(Оффтоп)

Ответ такой: образ $E = \{ z : \mathrm{Im}(z) < 0 \}$.

[Ven0m104]

$w=\frac 1 2 (pe^i^t+\frac 1 p e^-^i^t) ; p<1; 0<t<\pi$
это приблизило меня к решению? а что дальше?

[ewert]

Вам фактически достаточно найти образ границы. Поэтому просто замените $p$ на единицу. Ну а образ горизонтального отрезка -- и совсем уж очевиден.

[Профессор Снэйп]

Ну... надеюсь, из написанного Вам очевидно, что при $z \in E$ выполнено $\mathrm{Im}(z+1/z) < 0$.

Теперь осталось показать, что для произвольного $a \in \mathbb{C}$ с отрицательной мнимой частью уравнение $a = (z + 1/z)/2$ имеет решение с $z \in E$. Уравнение сводится к квадратному, такие в школе пачками решают :)

[Ven0m104]

ewert в сообщении #305896 писал(а):

Вам фактически достаточно найти образ границы. Поэтому просто замените $p$ на единицу. Ну а образ горизонтального отрезка -- и совсем уж очевиден.

тогда вышло $w=cos(t),$ , тоесть горизонтальный отрезок от единицы до минус единицы. Это и есть образ? А Профессор Снейп другое написал. Я что-то упускаю?

[Профессор Снэйп]

Не знаю, что там у вас всех вышло... Образ единичной окружности равен отрезку $[-1,1]$. Но надо-то ведь не образ окружности, а образ внутренности полукруга!

-- Сб апр 03, 2010 15:31:54 --

ewert в сообщении #305896 писал(а):

Вам фактически достаточно найти образ границы.

Зачем? Я, честно говоря, не понял, зачем образ границы надо искать. Но, если что, он будет равен действительной прямой (в границу входит не только полуокружность, но ещё и отрезок)

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #305897 писал(а):

Уравнение сводится к квадратному,

Ой не надо этого. Достаточно взять любую точку внутри области (скажем, $\dfrac{i}{2}$) и посмотреть, по какую сторону вещественной прямой окажется её образ.

-- Сб апр 03, 2010 12:34:10 --

Ven0m104 в сообщении #305901 писал(а):

тогда вышло $w=cos(t),$ , тоесть горизонтальный отрезок от единицы до минус единицы. Это и есть образ? А Профессор Снейп другое написал. Я что-то упускаю?

Да, но Вы забыли, что кроме полуокружности есть ещё один отрезок границы -- горизонтальный. Он ведь тоже во что-то переводится.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #305904 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #305897 писал(а):

Уравнение сводится к квадратному,

Ой не надо этого. Достаточно взять любую точку внутри области (скажем, $\dfrac{i}{2}$) и посмотреть, по какую сторону вещественной прямой окажется её образ.

И что? Нам ведь надо доказать, что образ равен всей нижней полуплоскости. Чем Вам образ границы поможет?

Хотя, возможно, на этот счёт в ТФКП есть специальная теорема, мне неизвестная

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #305903 писал(а):

Зачем? Я, честно говоря, не понял, зачем образ границы надо искать.

Затем, что это универсальный подход. Найти образ границы -- и почти всё. И не надо возиться ни с какими неравенствами.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #305906 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #305903 писал(а):

Зачем? Я, честно говоря, не понял, зачем образ границы надо искать.

Затем, что это универсальный подход. Найти образ границы -- и почти всё. И не надо возиться ни с какими неравенствами.

Ну... Тогда с целью просвещения меня сформулируйте, пожалуйста, теорему, из которой следует, что вычисления образа границы будет достаточно

[Ven0m104]

а что собой представляет горизонтальный отрезок, оставшийся? почему он не учитывался в образе границы полукруга? он точно присутствует, ведь мнимая часть Z строго больше нуля?

[Профессор Снэйп]

Ven0m104 в сообщении #305915 писал(а):

а что собой представляет горизонтальный отрезок, оставшийся? почему он не учитывался в образе границы полукруга? он точно присутствует, ведь мнимая часть Z строго больше нуля?

Бр-р-р... Это в $E$ мнимая часть $z$ строго больше нуля. А на одном из участков границы $E$ (которая сама не входит в $E$) мнимая часть $z$ равна нулю

-- Сб апр 03, 2010 15:51:24 --

И почему это он не учитывается? Ещё как должен учитываться!

Образ полукруга равен $[-1,1]$. А образ горизонтального участка границы равен $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.