Численное интегрирование и решение диффуров

[motoden]

Доброго времени суток, уважаемые товарищи!
Вопрос терминологии.
Есть методы численного интегрирования, как то: метод Симпсона, прямоугольников, трапеций итд.
Есть методы численного решения диффуров, как то: метод Эйлера, Рунге-Кутты итд.

Мой преподаватель по численным методам, при своей просьбе решить дифференциальное уравнение и вывести график искомой функции в некотором диапазоне аргумента использует слова: "проинтегрируйте до такого-то значения".
Вроде бы метод численного решения дифференциального уравнения - это одно, а методы интегрирования - это другое.
Почему он использует слово "проинтегрируйте"?

[ewert]

motoden в сообщении #305818 писал(а):

Почему он использует слово "проинтегрируйте"?

Потому что "проинтегрировать ДУ" -- это синоним "решить ДУ". Так уж исторически сложилось.

[motoden]

ewert в сообщении #305829 писал(а):

motoden в сообщении #305818 писал(а):

Почему он использует слово "проинтегрируйте"?

Потому что "проинтегрировать ДУ" -- это синоним "решить ДУ". Так уж исторически сложилось.

В ответе чувствуется ирония.
Тогда не пойму вот чего: если "проинтегрировать ДУ" и "решить ДУ" - это синонимы, то почему тогда численные методы разделяют на "методы численного интегрирования" и "методы решения дифференциальных уравнений"?
Численно проинтегрировать ведь можно только ДУ? Или я ошибаюсь?

[ewert]

motoden в сообщении #305836 писал(а):

почему тогда численные методы разделяют на "методы численного интегрирования" и "методы решения дифференциальных уравнений"?

Потому, что терминология здесь двусмысленна (это не страшно, поскольку речь идёт не о точных математических понятиях, а о достаточно лирическом описании темы). В словосочетании "численное интегрирование" имеется в виду именно вычисление интегралов. А в словосочетании "проинтегрировать ДУ" -- имеется в виду решить.

Причина такого вроде как смешения в том, что эти вещи действительно родственны (и, скажем, в известной книжке Волкова по численным методам они даже объединены в одну главу). Решение ДУ -- это восстановление функции по некоторой информации о её производных. С этой точки зрения интегрирование в обычном смысле -- это частный случай решения ДУ.

[motoden]

Цитата:

Потому, что терминология здесь двусмысленна (это не страшно, поскольку речь идёт не о точных математических понятиях, а о достаточно лирическом описании темы). В словосочетании "численное интегрирование" имеется в виду именно вычисление интегралов. А в словосочетании "проинтегрировать ДУ" -- имеется в виду решить.

Причина такого вроде как смешения в том, что эти вещи действительно родственны (и, скажем, в известной книжке Волкова по численным методам они даже объединены в одну главу). Решение ДУ -- это восстановление функции по некоторой информации о её производных. С этой точки зрения интегрирование в обычном смысле -- это частный случай решения ДУ.

Благодарю. Тема для меня стала обретать какие-то контуры.
Вот такой вопрос меня ещё интересует:
если

Цитата:

эти вещи действительно родственны

то можно предположить, что решить ДУ можно как методом РК, так и методом прямоугольников или трапеций?

Если

Цитата:

интегрирование в обычном смысле -- это частный случай решения ДУ

то зачем тогда для интегрирования в обычном смысле придуманы "свои" методы? Почему люди не захотели довольствоваться методом РК, который (если мои предположения верны) подходит как для решения ДУ, так и для интегрирования в обычном смысле?

-- Сб апр 03, 2010 18:47:07 --

а на мой предыдущий вопрос:

Цитата:

Численно проинтегрировать ведь можно только ДУ? Или я ошибаюсь?

ответом видимо должно стать:
"Нет. Проинтегрировать можно любую функцию"?

[AD]

motoden в сообщении #306049 писал(а):

зачем тогда для интегрирования в обычном смысле придуманы "свои" методы? Почему люди не захотели довольствоваться методом РК, который (если мои предположения верны) подходит как для решения ДУ, так и для интегрирования в обычном смысле?

Ну начнем с того, что Р и К были немного позже Эйлера и Ньютона ... А вообще для простой задачи можно использовать простые методы с тем же счастьем. А вообще РК при численном интегрировании как раз и сведётся к какой-нибудь из этих специальных формул.

[ewert]

motoden в сообщении #306049 писал(а):

то зачем тогда для интегрирования в обычном смысле придуманы "свои" методы? Почему люди не захотели довольствоваться методом РК, который (если мои предположения верны) подходит как для решения ДУ, так и для интегрирования в обычном смысле?

Ваши предположения неверны. Эти задачи пусть и родственны, но формально -- совершенно разные. Методы РК (и любые вообще методы решения ДУ) ориентированы на случай, когда ДУ произвольно. Методы же численного интегрирования -- на очень частный случай, когда уравнение имеет весьма специфический вид: $y'(x)=f(x)$.

Соотв., и эффективность у них совершенно разная. Сравните трудоёмкость вычислений в методе Рунге-Кутта четвёртого порядка и в имеющей тот же порядок точности формуле Симпсона (пусть даже первый и напоминает вторую). Небо и земля.

(да, конечно, как сказал AD, в конце концов сведётся, но -- какими усилиями...)