Придумать функцию с требуемыми значениями в требуемых точках

[e2e4]

Задача практическая. Решить-то я ее решил, но функция получилось довольно громоздкой. Вечером посмотрю записи и напишу здесь свое решение, но прежде, чтобы не давать так сказать стереотип размышлений, просто сформулирую условие:
Итак, требуется аналитически(формулой) заданная функция от одной переменной(x), принадлежащей области действительных чисел, такая, что:
1. значением функции было бы 1 при $x = x_0 + p*k$, $x_0$ неотрицательное целое, const; k - натуральное,const; p - неотрицательное целое, пробегает 0...+inf;
2. значением функции был бы 0 при всех остальных неотрицательных целых x;
3. значение функции, равно как и его существование, при всех остальных x не имеет значения.

Что бы вы предложили?

[maxal]

Например,

$$y(x) = \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} w^{j(x-x_0)},$$

где $w=e^{\frac{2\pi i}{k}}$ - это примитивный корень $k$-й степени из 1.

[e2e4]

Давайте рассмотрим $x_0 = 1$, k = 2$. Должно быть так: y(1) = y(3) = y(5) = ... = 1; y(0) = y(2) = y(4) = ... = 0.
Имеем по вашей формуле:
$y(x) = \frac{1}{2} (1 + w^{x-1}) = \frac{1}{2} (1 + (e^{\pi i})^{x-1})$
Что-то не то... Хотя идея - то понятна - по формуле Эйлера мы придем в конце концов к sin и/или cos. Т.к. функция должна быть периодической, то синусы и косинусы тут очевидны. Зачем прибегать к числу i мне не понятно, ну да ладно - ограничений на это нет. Вопрос в другом - с ростом k растет и громоздкость формулы - как бы ее сделать попроще?

[Руст]

Неправильно подставляете w=-1.

[e2e4]

Действительно, можно дальше преобразовать это выражение, получается w = -1, функция работает. Но при k>2 мне не удается избавиться от мнимой части. Скорее всего, подставив конкретные числа, все получится, но формула-то нужна в общем виде.
Мне удалось найти решение без применения комплексных чисел, вечером напишу. Может быть, будут какие-нибудь решения как его упростить.

P. S. В первом сообщении, $x = x_0 + p*k$ надо бы поменять смысл букв p и k. Естественно под p подразумевается период, т.е. p = const. А k - пробегает числа от 0 до +inf. Так удобнее.

[Руст]

e2e4 писал(а):

Действительно, можно дальше преобразовать это выражение, получается w = -1, функция работает. Но при k>2 мне не удается избавиться от мнимой части. Скорее всего, подставив конкретные числа, все получится, но формула-то нужна в общем виде.
Мне удалось найти решение без применения комплексных чисел, вечером напишу. Может быть, будут какие-нибудь решения как его упростить.

Это тривиальный случай так называемой тригонометрической суммы. Можете посмотреть в книжке Виноградова или Карацубы.

[maxal]

e2e4 писал(а):

Действительно, можно дальше преобразовать это выражение, получается w = -1, функция работает. Но при k>2 мне не удается избавиться от мнимой части. Скорее всего, подставив конкретные числа, все получится, но формула-то нужна в общем виде.

Эта функция на самом деле вещественная. Если вам не нравится использование комплексных чисел в ее записи, то можно рассмотреть только вещественную часть у всех слагаемых:

$$y(x) = \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} \cos\left(\frac{2\pi j (x-x_0)}{k}\right).$$

[e2e4]

!!!Еще раз обращаю внимание, что значения p и k я поменял местами. p = const, k пробегает все значения от 0 до +inf. В моем первом сообщении я допустил ошибку. Так удобнее!!!

Хехе, уважаемый maxal, выша последняя формула - в точности повторяет ту, что получилась у меня, правда у меня сумма идет от 1 до p (надо посмотреть, где ошибка). Вывел я ее строя графики в екселе, т.е. почти подбором, но не суть важно. Важно другое - с ростом k кол-во слагаемых растет. Это неудобно.
Я использовал т.н. "ядро Дирихле":
$\sum_{j=1}^{p}\cos{ja} = \frac{\sin{\frac{(2p+1)a}{2}}}{2\sin \frac{a}{2}} - \frac{1}{2}$

Получил в конце всех преобразований:
$y(x) = \frac{tf(2 \pi x + \frac{\pi}{p}x)}{2tf(\frac{\pi}{p}x)} - \frac{1}{2}, tf = \left\{ \begin{array}{l} sin, $ если $ \frac{x_0}{p} = n, n \in \mathbb{N}\\ cos, $ если $ \frac{x_0}{p} = n + \frac{1}{2}, n \in \mathbb{N} \end{array} \right. $

Выжно учитывать, что применение ядра Дирихле приводит к делению на 0 (когда $\sin{(\frac{x_0}{p}\pi - \frac{\pi}{p}x)} = 0$, следовательно $\frac{x_0}{p}\pi - \frac{\pi}{p}x = 2n\pi$, следовательно $x = x_0-2np)$ - тогда, по определению, можно использовать предел $\lim\limits_{x \to x_0-2kp - 0}y(x) = \lim\limits_{x \to x_0-2kp + 0} y(x) = y(x)$
Опять таки, деление на ноль получается именнов нужных мне точках. Использование предела - не выход (мне кажется). Что делать? Есдинстченный ли вид функции позволяет получить те условия, что я сформулировал в первом сообщении?

Подредактировал, убрал k, заменил на n - т.к. пересекается с условием задачи. Здесь n везьде - натуральное. Из под пределов убрал переменную d, ранее не встречавшуюся - она у меня в черновике используется вместо $x_0$. Писал в спешке утром

[Руст]

Любая такая функция периодическая с периодом k(по крайней мере на целых точках). Соответственно осмысленно ограничиваться периодическими функциями, которые разлагаются в ряд Фурье. Среди этих функций минимальное количество ненулевых членов имеют именно указанные maxal ом функции.

[maxal]

e2e4 писал(а):

Хехе, уважаемый maxal, выша последняя формула - в точности повторяет ту, что получилась у меня, правда у меня сумма идет от 1 до p (надо посмотреть, где ошибка).

Это не ошибка. Индекс суммирования должен пробегать полную систему вычетов по модулю p. Поэтому суммирование от 0 до p-1 или от 1 до p - неважно, результат будет тот же самым.

e2e4 писал(а):

Использование предела - не выход (мне кажется). Что делать?

Использовать определение через комплексные числа (как было указано выше) - тогда все легко доказывается.

e2e4 писал(а):

Есдинстченный ли вид функции позволяет получить те условия, что я сформулировал в первом сообщении?

Не единственный, но вряд можно указать в общем виде что-то более компактное.

[e2e4]

Спасибо Руст, maxal. Есть информация для размышлений.