О неполных логических высказываниях (ни ложные, ни истинные)

[creative]

Привет всем.

Есть вопрос, который заключается в том, чтобы узнать разницу между неполными высказываниями (которые не могут быть ни истинными, ни ложными) и нормальными высказываниями.

По сути конкретный вопрос сводится к пониманию разницы между задачами о шкатулках.

1. Эта задача имеет решение:

Даны две шкатулки, одна золотая, другая серебрянная. На каждой из них выгравированна надпись одним из мастеров Беллини или Челлини. Если надпись сделана Беллини, то она всегда истинна, если надпись сделана Челлини, то она всегда ложна. Нужно узнать в какой шкатулке хранится портрет.

На золотой шкатулке написано: Портрет не в этой шкатулке.
На серебряной шкатулке написано: Ровно одна из этих двух шкатулок изготовлена Беллини.

2. Эта задача не имеет решения:

Условия в этой задачи такие же как в предыдущей, но вместо надписей Беллини и Челлини в этой задаче просто высказывания.

На золотой шкатулке написано: Портрет не в этой шкатулке
На серебряной шкатулке написано: Ровно одно из двух высказываний, выгравированных на крышках, истинно

* Какая разница между этими двумя задачами?
* Кто знает ссылку на строгое математическое описание подобной проблемы о высказываниях?

P.S. Задачи из книги Реймонда Смаллиана "Как же называется эта книга?". Если что могу скинуть оригинальную формулировку задач на английском языке (русский перевод издания содержит опечатки).

[Mousy]

Разве между ними есть разница? Замените "изготовлена Беллини/Челлини" на "написанное утверждение истинно/ложно" в условии первой задачи -- получите вторую. И наоборот. Они равносильны, портрет в первой шкатулке.

[Maslov]

Посмотрите в сторону "парадокса лжеца" и того, что рядом. Во втором случае делается попытка смешения языка (на котором формулируются высказывания) и метаязыка (на котором формулируются свойства высказываний). Формальные системы классической математической логики не допускают такого смешения, поэтому в них подобных проблем обычно не встает.

[Профессор Снэйп]

Maslov в сообщении #305789 писал(а):

Посмотрите в сторону "парадокса лжеца" и того, что рядом. Во втором случае делается попытка смешения языка (на котором формулируются высказывания) и метаязыка (на котором формулируются свойства высказываний). Формальные системы классической математической логики не допускают такого смешения, поэтому в них подобных проблем обычно не встает.

+1

Мне кажется, что "неполные" --- некорректное выражение. Просто некоторым высказываниям невозможно приписать истинность или ложность.

Есть высказывания синтаксически некорректные --- бессмысленный набор букв. А есть с виду корректные, но по сути такие же. Вроде фразы "данное высказывание ложно".

-- Сб апр 03, 2010 10:52:56 --

Вспосмнился "парадокс" из двух высказываний:

1) Оба высказывания ложны.
2) Топегстартер должен мне 1000 долларов.

Где моя штука баксов?!

[creative]

Вот эта задача:

http://golovolomka.hobby.ru/books/smull ... 5.shtml#70

Вот ответ:

http://golovolomka.hobby.ru/books/smull ... vet/70.htm

Я немного понимаю почему это высказывание не корректно, но всё равно это понимание какое-то ускользающее, почти невидимое.

Вообщем я неудовлетворён таким пониманием. Подскажите, пожалуйста, какую нибудь теорему в математике, где строго оговаривается, что является правильным высказыванием, а что нет.

[Maslov]

creative в сообщении #306332 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, какую нибудь теорему в математике, где строго оговаривается, что является правильным высказыванием, а что нет.

В математике (по крайней мере, в классической мат. логике) с правильными высказываниями все довольно просто: правильные высказывания (формулы) -- это формулы, построенные "по правилам", и только они (возьмите любую книгу по математической логике или почитайте вот этот пост Xaositect'a).

Но насколько я понимаю, Вас интересует совсем другое, а именно, универсальный способ определить, является ли некоторое высказывание на естественном языке моделью какой-нибудь корректной формулы исчисления высказываний или исчисления предикатов. А вот такого способа нет, т. к. естественный язык не является формальной системой в математическом понимании.

[creative]

Maslov в сообщении #306341 писал(а):

creative в сообщении #306332 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, какую нибудь теорему в математике, где строго оговаривается, что является правильным высказыванием, а что нет.

В математике (по крайней мере, в классической мат. логике) с правильными высказываниями все довольно просто: правильные высказывания (формулы) -- это формулы, построенные "по правилам", и только они (возьмите любую книгу по математической логике или почитайте вот этот пост Xaositect'a).

Но насколько я понимаю, Вас интересует совсем другое, а именно, универсальный способ определить, является ли некоторое высказывание на естественном языке моделью какой-нибудь корректной формулы исчисления высказываний или исчисления предикатов. А вот такого способа нет, т. к. естественный язык не является формальной системой в математическом понимании.

Да, похоже я зашёл немного вперёд с формализацией. Не формально Вы видите разницу между высказываниями (так же посмотрите оригинальную постановку задачи)?

Я честно говоря прочитав ответ (а автор задачи один из крупных специалистов по логике) до сих пор его не понял.

[Maslov]

creative в сообщении #307254 писал(а):

Не формально Вы видите разницу между высказываниями (так же посмотрите оригинальную постановку задачи)?

Да, вижу: первая задача проста и понятна, а при попытке понять смысл надписи на серебрянной шкатулке из второй задачи я ухожу в глубокую рекурсия, из которой нет возврата (как это бывает при попытке понять смысл высказывания, утверждающего что-то о собственной истинности).

А что Вам непонятно в решении? И в каком именно (там два варианта)?

[creative]

Maslov в сообщении #307543 писал(а):

creative в сообщении #307254 писал(а):

Не формально Вы видите разницу между высказываниями (так же посмотрите оригинальную постановку задачи)?

Да, вижу: первая задача проста и понятна, а при попытке понять смысл надписи на серебрянной шкатулке из второй задачи я ухожу в глубокую рекурсия, из которой нет возврата (как это бывает при попытке понять смысл высказывания, утверждающего что-то о собственной истинности).

А что Вам непонятно в решении? И в каком именно (там два варианта)?

Долго думал как объяснить, что именно я не понимаю. Решил просто описать ход своих мыслей.

Первая задача:

Предположим портрет находится в серебряной шкатулке, следовательно на золотой шкатулке написано истинное высказывание, следовательно надпись выгравирована Беллини. Тогда если на серебряной шкатулке надпись сделана Беллини, то он написал ложное высказывание, о том, что только на одной шкатулке надпись принадлежит Беллини, получаем противоречие. А если на серебряной шкатулке надпись сделана Челлини, то тогда высказывание будет истинным, а Челлини не пишет истинных высказываний на шкатулках, получаем противоречие.
Предположим портрет находится в золотой шкатулке, тогда высказывание сделанное на ней ложно, следовательно принадлежит Челлини, а на серебряной шкатулке надпись может быть либо от Беллини, либо от Челлини, что в принципе не меняет ситуацию и не приводит к противоречию.
Вывод, портрет находится в золотой шкатулке, так как это единственный случай, когда не возникает противоречия.

Во второй задаче я совершенно не понимаю почему высказывание на серебрянной шкатулке неполное/некорректное в следствие чего портрет может находится в любой шкатулке (между прочим я был в таком замешательстве, что даже проверил английскую версию книги, да и сам автор книги является одним из крупнейших специалистов по логике). Вот мои рассуждения, которые говорят мне о том, что эти высказывания полноценны:

Предположим портрет находится в серебрянной шкатулке, следовательно на золотой шкатулке написано истинное высказывание. Тогда возникает противоречие, так как высказывание на серебряной шкатулке не может быть истинным или ложным (в случае истинности получалось, что два высказывания истинны в то время как одно из высказываний говорит о том, что только одно высказывание истинно, в случае ложности получалось, что только одно высказывание истинно, а ложное высказывание было бы истинным).
Предположим портрет находится в золотой шкатулке, тогда высказывание на золотой шкатулке было бы ложным, а на серебряной шкатулке высказывание может быть истинным.
Вывод, портрет находится в золотой шкатулке, так как это единственный случай когда не возникает противоречий.

Непонимание того, почему высказывание на серебрянной шкатулке во второй задаче неполное и портрет может находится в любой из шкатулок вызывает у меня глубокое чувство неудовлетворения как будто я упустил что-то неуловимое.

Оригинал книжки на английском могу скинуть в личку по желанию, так как возможно на форуме не разрешат постить книги (всё таки пиратство).

[Xey]

creative в сообщении #307749 писал(а):

Первая задача:

Как то у Вас длинно, а если покороче, будет ли правильно?
На серебряной шкатулке написано: "Ровно одна из этих двух шкатулок изготовлена Беллини". Мы знаем по условию, что так и есть, значит эта надпись верна ,а верные надписи делает Беллини. Следовательно золотая сделана Челлини и надпись на ней ложна. На ней написано "Портрет не в этой шкатулке" значит в действительности именно в этой. Т.е. портрет в золотой.

Интересно, как эта задача (решаемая) выглядит в виде формулы?

[Maslov]

Для второй задачи автор приводит два объяснения отсутствия решения: совсем простое и посложнее.
Давайте по порядку. С первым решением все понятно?

Цитата:

Претенденту на руку Порции следовало бы понять, что без информации об истинности или ложности любого высказывания или об отношении принимаемых высказываниями значений истинности высказывания не позволяют прийти к какому-либо выводу, и предмет (портрет или кинжал) может находиться где угодно. Что мешает мне взять любое число шкатулок, положить в одну из них какой-нибудь предмет и сделать на крышках любые надписи, какие только мне заблагорассудится? Эти надписи не будут нести в себе никакой информации о предмете, спрятанном в одной из шкатулок. Отсюда ясно, что Порция не лгала своему возлюбленному. Все, что она утверждала, сводилось к следующему: некий предмет спрятан в одной из шкатулок. И в каждом случае ее утверждение соответствовало истине.

creative в сообщении #307749 писал(а):

Оригинал книжки на английском могу скинуть в личку по желанию, так как возможно на форуме не разрешат постить книги (всё таки пиратство).

Оригинал есть в Колхозе

Xey в сообщении #307775 писал(а):

На серебряной шкатулке написано: "Ровно одна из этих двух шкатулок изготовлена Беллини". Мы знаем по условию, что так и есть

По условию мы знаем только, что в изготовлении шкатулок участвовали Беллини и Челлини. Другими словами, возможны следующие варианты: обе изготовил Челлини, обе изготовил Беллини, каждый изготовил по одной.

[Maslov]

Xey в сообщении #307775 писал(а):

Интересно, как эта задача (решаемая) выглядит в виде формулы?

Я думаю, как-то так:

Обозначим высказывания следующим образом:
$G$ - золотая шкатулка сделана Беллини
$S$ - серебрянная шкатулка сделана Беллини
$P$ - портрет в золотой шкатулке

Тогда надпись на золотой шкатулке ("Портрет не в этой шкатулке") можно записать как
$~~G~\overline P + \overline G ~ P$
а надпись на серебрянной ("Ровно одна из этих двух шкатулок изготовлена Беллини.") -- как
$~~S~(G ~ \overline S + \overline G ~ S) + \overline S (G ~ S + \overline G ~ \overline S)$

Отсюда:
$(G~\overline P + \overline G ~ P)(S~(G ~ \overline S + \overline G ~ S) + \overline S (G ~ S + \overline G ~ \overline S)) = $ $(G~\overline P + \overline G~P)(\overline G~ S + \overline G ~ \overline S) =$ $\overline G~S~P + \overline G ~ \overline S ~ P =$ $\overline G ~ P$

Т.е., золотую шкатулку сделал не Беллини (а Челлини), портрет в ней, а кто сделал серебрянную -- неизвестно.

[creative]

Maslov в сообщении #307868 писал(а):

Для второй задачи автор приводит два объяснения отсутствия решения: совсем простое и посложнее.
Давайте по порядку. С первым решением все понятно?

Цитата:

Претенденту на руку Порции следовало бы понять, что без информации об истинности или ложности любого высказывания или об отношении принимаемых высказываниями значений истинности высказывания не позволяют прийти к какому-либо выводу, и предмет (портрет или кинжал) может находиться где угодно. Что мешает мне взять любое число шкатулок, положить в одну из них какой-нибудь предмет и сделать на крышках любые надписи, какие только мне заблагорассудится? Эти надписи не будут нести в себе никакой информации о предмете, спрятанном в одной из шкатулок. Отсюда ясно, что Порция не лгала своему возлюбленному. Все, что она утверждала, сводилось к следующему: некий предмет спрятан в одной из шкатулок. И в каждом случае ее утверждение соответствовало истине.

Я могу кивнуть головой и как бы согласится с решением, но на самом деле я абсолютно не понимаю сути.

Не побоюсь показаться идиотом, то я до сих пор чётко не понимаю почему моё решение второй задачи не подходит?

[Maslov]

Да смысл очень простой: на заборе тоже много чего написано, а там -- дрова. В условиях, когда у нас есть просто какие надписи на коробках, об истинности которых мы ничего не знаем, мы и выводов никаких сделать не можем.

Ну представьте себе, например, такую ситуацию:
Портрет лежит в первой коробке, на которой написано "Портрета здесь нет". А на второй коробке написано "Портрет здесь". Можем ли мы сделать какие-то выводы о реальном нахождении портрета, не имея никакой дополнительной информации? Нет, не можем. Вот если бы мы априорно знали, что оба высказывания истинны или оба ложны, тогда и вывод о местонахождении портрета могли бы сделать.

Теперь по Вашему решению (пока не вдаваясь в подробности о том, почему второму высказыванию вообще нельзя приписать истинность или ложность). Вы пишите:

creative в сообщении #307749 писал(а):

Вывод, портрет находится в золотой шкатулке, так как это единственный случай когда не возникает противоречий.

Объясните, пожалуйста, каким образом отсутствие противоречий связано с местонахождением портрета? У нас же в условии задачи не сказано, что портрет размещен таким образом, что высказывания на коробках непротиворечивы. А значит, они вполне могут быть противоречивы.

[creative]

Maslov в сообщении #307957 писал(а):

Да смысл очень простой: на заборе тоже много чего написано, а там -- дрова. В условиях, когда у нас есть просто какие надписи на коробках, об истинности которых мы ничего не знаем, мы и выводов никаких сделать не можем.

Ну представьте себе, например, такую ситуацию:
Портрет лежит в первой коробке, на которой написано "Портрета здесь нет". А на второй коробке написано "Портрет здесь". Можем ли мы сделать какие-то выводы о реальном нахождении портрета, не имея никакой дополнительной информации? Нет, не можем. Вот если бы мы априорно знали, что оба высказывания истинны или оба ложны, тогда и вывод о местонахождении портрета могли бы сделать.

Теперь по Вашему решению (пока не вдаваясь в подробности о том, почему второму высказыванию вообще нельзя приписать истинность или ложность). Вы пишите:

creative в сообщении #307749 писал(а):

Вывод, портрет находится в золотой шкатулке, так как это единственный случай когда не возникает противоречий.

Объясните, пожалуйста, каким образом отсутствие противоречий связано с местонахождением портрета? У нас же в условии задачи не сказано, что портрет размещен таким образом, что высказывания на коробках непротиворечивы. А значит, они вполне могут быть противоречивы.

В таком случае и в первой задаче, где шкатулки Беллини с всегда истинными высказываниями, и шкатулки Челлини с всегда ложными высказываниями не имеют вообще никакого значения и портрет может находится где угодно. Тогда вообще любые задачи с любыми условиями в таком случае могут иметь любой ответ.