Система диф. уравнений (+ уравнение маятника)

[maxmatem]

возникла проблемка, вот решал задачу по математическому моделированию и пришел к тому что надо решить с-му
$\[\begin{gathered} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \frac{{dx}} {{dt}} = y \hfill \\ \frac{{dy}} {{dt}} = - \omega _0^2\sin x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \frac{{{d^2}x}} {{{{(dt)}^2}}} = \frac{{dy}} {\begin{gathered} dt \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \hfill \\ \frac{{{d^2}x}} {{{{(dt)}^2}}} + \omega _0^2\sin x = 0 \hfill \\ \ddot x + \omega _0^2\sin x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$
а вопрос вот в чём? каким способом решать получившиеся диф.уравнение?

-- Пт апр 02, 2010 00:33:15 --

я сначала подумал, что оно подумал что оно однородное линейное, но не прошло!
ой- а может оно линейное и неоднородное!!

[ewert]

Оно не линейное, но зато автономное, т.е. не содержит времени явно. Понизьте порядок -- домножением обеих частей на $\dot x$ или стандартной заменой $\dot x(t)=p(x)$. Правда, потом второй интеграл явно не берётся; ну -- значит так тому и быть, ничего с этим не поделаешь.

Зато что можно найти явно -- это траекторию, т.е. зависимость $y(x)$. Просто разделите второе уравнение системы на первое.

[paha]

maxmatem в сообщении #305469 писал(а):

возникла проблемка

полученное Вами уравнение является уравнением маятника ($x$ -- угол отклонения от вертикали, $y$ -- угловая скорость), оно изучено-переизучено, интегрируется в эллиптических функциях

То, о чем ewert
говорил называется фазовым портретом: интеграл энергии равен $E=y^2/2-\omega^2\cos{x}$: берем разные значения $E$ и рисуем картинки на плоскости.

[paha]

В прекрасной книжке Заславский Г.М. Сагдеев Р.З., Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса, 1988
Вашему уравнению посвящен весь третий параграф (почти пять страниц)

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #305557 писал(а):

Вашему уравнению посвящен весь третий параграф (почти пять страниц)

ни хрена себе