ТВ: задача про судей

[caxap]

Задача: Есть жюри из трёх человек. Первый и второй член выносит правильное решение с вероятностью $p$. У третьего есть два пути: также выносить верное решение с вер. $p$, либо кидать правильную монету и выносить правильное решение с вер. $1/2$. Результат жюри определяется большинством (т. е. двумя или всеми тремя). Какой способ справедливее (т.е. в каком случае вер-сть принять верное решение насчёт конкурсанта выше)?

Мои мысли: $A$ -- конкурсант действительно хорош.
$P=P($принять верное решение насчёт конкурсанта$)=P(A)\cdot P($два или более члена жюри признало конкурсанта хорошим$|A)=P(A)\cdot P($жюри 1 и 2 посчитали его хорошим$)+P($жюри 1 и 3 посчитали его хорошим$)+P($жюри 2 и 3 посчитали его хорошим$)$.
$P_{12,I}=p^2$
В первом случае (без монеты):
$P_{13,I}=p^2=P_{23}$.
$P_{I}=P(A)\cdot 3p^2$.
Во втором случае (с монетой):
$P_{13,II}=p\cdot\frac12=P_{23,II}$.
$P_{II}=P(A)\cdot (p^2+p)<P_{I}$.

Т. е. независимо от $p$, вероятность с монетой будет хуже. Это явно неверно, т. к. может быть, что $p<1/2$. Где ошибка?

З.Ы. УЖАС, забыл доллар в одном месте поставить, как потом понаставились теги math, не так как надо. Все запуталось. При редактировании не стал удалять эти теги, а вручную доисправлял неокторые --- в результате при втором проходе появилась вторая партия тегов, которые запутали всё ещй больше... Почему бы не отменить вообще этот тег или же не показывать его при редактировании.

[gris]

У Вас события пересекаются.
и при чём тут хорош конкурсант или плох.

[caxap]

А, понял. А как её рациональней всего решать?
Конкурсант может быть "хорошим" и "плохим". По-моему, $p$ -- это вероятность того, что член жюри признает конкурсанта хорошим, если он такой и есть. Либо плохим, если он такой и есть. Что то я сам запутался.

[TOTAL]

$p^2 + 2p(1-p)q$
Первый и второй случаи -- это $q=p$ и $q=1/2$

[gris]

+1
Нам не важно, какой на самом деле конкурсант. Важно, чтобы его правильно оценили. Это произойдёт в случае выполнения одного из 4-х непересекающихся событий. 1прав2прав3прав+1прав2прав3неправ+...
Ну или двух 1прав2прав + ровно один из первых прав3прав.
ИМХО 4 события нагляднее.

[meduza]

Зачем тут вообще что-то считать? Если два первых судьи приняли единогласное решение, тогда голос третьего не влияет. Если же у первых двух мнения разняться, то всё определяется третьим судьёй, который выносит справедливое решение либо с вероятностью $p$, либо с $1/2$. Т. е. если $p<1/2$, то лучше монета.

Где вы такую неинтересную задачу взяли? Есть похожая, но куда более интересная в Мостеллер "50 задач по Т. В." (надеюсь автора и название верно назвал).